|
|
Continuous market models with stochastic volatility
Petrovič, Martin ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Hlubinka, Daniel (oponent)
Vilela Mendes a kol. (2015) na základe zistenia, že volatilita výnosov akcií vykazuje dlhú pamäť, navrhujú spojitý trhový model so stochastickou volatilitou, ktorá je daná ako transformácia frakcionálneho Brownovho pohybu (fBm), a za rôznych podmienok skúmajú, či pripúšťa arbitráž a je úplný. Nás zaujíma, či ich závery možno z fBm zovšeobecniť na širšiu triedu hermitovských procesov. Prepracovali a doplnili sme dôkazy tvrdení z citovaného článku. Za predpokladu nezávislosti riadiacich procesov ceny a volatility model nepripúšťa arbitráž, avšak okrem prípadu špeciálneho vzťahu medzi driftom a volatilitou sme dokázali, že nie je úplný. Za iných predpokladov, keď v modeli je len jeden zdroj šumu a proces riadiaci volatilitu ohraničíme, model nepripúšťa arbitráž a je úplný. Všetky tieto výsledky ostávajú v platnosti, ak volatilitu riadi ľubovoľný hermitovský proces. 1
|
|
|
Stochastic Evolution Equations
Čoupek, Petr ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce)
Stochastické evoluční rovnice Petr Čoupek Disertační práce Abstrakt Tématem práce jsou lineární stochastické evoluční rovnice s aditivním regulárním volterrovským šumem. Regulární volterrovské procesy jsou stochastické procesy, které nemusejí být markovské, gaus- sovské a ani nemusejí být semimartingaly, ale namísto těchto vlastností mají jistou kovarianční struk- turu. Konkrétní příklady zahrnují frakcionální Brownův pohyb s Hurstovým parameterem H > 1/2 a, v negaussovském případě, Rosenblattův proces. Řešení uvažovaných stochastických rovnic je dáno vzorcem pro variaci konstant (v tzv. " mild" tvaru) a nabývá hodnot v separabilním Hilbertově pro- storu nebo v prostoru Lp(D; µ) pro velké p. V hilbertovském případě je studována zejména existence a regularita tohoto řešení a dále jeho chování pro velké časy. V případě, že řešení nabývá hodnot v prostoru Lp, je studována existence a regularita tohoto řešení a v konkrétních případech stochas- tických parciálních diferenciálních rovnic je ukázáno, že řešením je náhodné pole, které je spojité jak v časové, tak v prostorové proměnné.
|
|
|
Stochastic Evolution Equations
Čoupek, Petr ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Garrido-Atienza, María J. (oponent) ; Hlubinka, Daniel (oponent)
Stochastické evoluční rovnice Petr Čoupek Disertační práce Abstrakt Tématem práce jsou lineární stochastické evoluční rovnice s aditivním regulárním volterrovským šumem. Regulární volterrovské procesy jsou stochastické procesy, které nemusejí být markovské, gaus- sovské a ani nemusejí být semimartingaly, ale namísto těchto vlastností mají jistou kovarianční struk- turu. Konkrétní příklady zahrnují frakcionální Brownův pohyb s Hurstovým parameterem H > 1/2 a, v negaussovském případě, Rosenblattův proces. Řešení uvažovaných stochastických rovnic je dáno vzorcem pro variaci konstant (v tzv. " mild" tvaru) a nabývá hodnot v separabilním Hilbertově pro- storu nebo v prostoru Lp(D; µ) pro velké p. V hilbertovském případě je studována zejména existence a regularita tohoto řešení a dále jeho chování pro velké časy. V případě, že řešení nabývá hodnot v prostoru Lp, je studována existence a regularita tohoto řešení a v konkrétních případech stochas- tických parciálních diferenciálních rovnic je ukázáno, že řešením je náhodné pole, které je spojité jak v časové, tak v prostorové proměnné.
|
|
|
Continuous Time Linear Quadratic Optimal Control
Vostal, Ondřej ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Pawlas, Zbyněk (oponent)
Podáváme řešení problému adaptivního ergodického stochastického optimálního řízení kdy je budícím procesem frakcionální Brownův pohyb s Hursto- vým parametrem H > 1/2. Předkládáme vzorec pro výpočet optimálního zpět- novazebného řízení v případě, že je k dispozici silně konzistentní odhad parametrů řízeného systému. Od odhadu rovněž vyžadujeme splnění speciálních podmínek, kvůli čemuž není náš výsledek zcela obecný. Platí např. v případě odhadu nezávis- lém na budícím frakcionálním Brownově pohybu. V práci rovněž konstruujeme stochastický integrál vhodných deterministických funkcí vzhledem k frakcionál- nímu Brownovu pohybu s Hurstovým parametrem H > 1/2 přes neomezenou kladnou část reálné osy. 1
|
|
|
Fractional Brownian Motion in Finance
Kratochvíl, Matěj ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Beneš, Viktor (oponent)
Tato práce se zabývá stochastickým integrálem vůči gaussovským procesům, které se dají vyjádřit ve tvaru Bt = t 0 K(t, s)dWs, kde W je Wienerův proces a K je kvadraticky integrovatelné volterrovské jádro. Tyto procesy představují zo- becnění frakcionálního Brownova pohybu. Protože se nejedná o semimartingaly, je nutné k zavedení stochastického integrálu použít jiné metody, než poskytuje Itôův kalkulus. V této práci jsou popsány dvě metody: za předpokladu dostatečné regularity integrandu a procesu B lze definovat integrál po trajektoriích zo- becněním Lebesgue-Stieltjesova integrálu. Druhý způsob využívá metody Mal- liavinova počtu a integrál definuje jako adjungovaný operátor k Malliavinově derivaci. Jako aplikace obou metod je v závěru práce řešena stochastická dife- renciální rovnice dSt = µStdt + σStdBt, jejíž pomocí se modeluje chování ceny akcie. Následuje stručná diskuse vlastností tohoto modelu. 1
|
|
|
Stochastic Models in Financial Mathematics
Waczulík, Oliver ; Hurt, Jan (vedoucí práce) ; Večeř, Jan (oponent)
Název práce: Stochastické modely ve finanční matematice Autor: Bc. Oliver Waczulík Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Jan Hurt, CSc., Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Abstrakt: Tato práce pojednává o problémech běžných stochastických modelů používaných ve finanční matematice, které jsou často způsobeny nereálnými předpoklady Bro- wnova pohybu, a zabývá se jeho sofistikovanějšími alternativami. Aplikací frak- cionálního Brownova pohybu odvozujeme modifikaci Black-Scholesova oceňovací- ho vzorce pro smíšený frakcionální Brownův pohyb. Aparát Lévyho procesů vyu- žíváme na představení subordinovaného stabilního procesu Ornstein-Uhlenbecko- va typu sloužícího na modelování úrokových sazeb. Prezentujeme postupy kalib- race těchto modelů spolu se simulační studií metod odhadu Hurstova parametru. Za účelem ilustrace praktického využití modelů obsažených v práci využíváme reálné finanční data a vlastní procedury naprogramované v systému Wolfram Mathematica. Popsaným přístupem se nám podařilo dosáhnout téměř devade- sátiprocentního poklesu hodnoty statistiky Kolmogorovova-Smirnovova testu při aplikaci subordinovaného stabilního procesu...
|
|
|
Blackovy-Scholesovy modely oceňování opcí
Čekal, Martin ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Beneš, Viktor (oponent)
Název práce: Blackovy-Scholesovy modely oceňování opcí Autor: Martin Čekal Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc., Matematicko-fyzikální fakulta UK v Praze, Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. Abstrakt: V předložené práci studujeme rozšíření Blackova-Scholesova modelu pomocí frakcionálního Brownova pohybu a skokových procesů. Hlavním výsledkem je odvození ceny call opce pro frakcionální skokový trh. První kapitola se zabývá fenoménem dlouhé paměti a slouží jako úvod do problematiky jejího modelování pomocí diskrétních a spojitých modelů. Ve druhé kapitole je zaveden frakcionální Brownův pohyb a odpovídající stochastická analýza, dále rozšíříme pojem Lévyho procesu a skokového procesu. Třetí kapitola se zabývá frakcionálním Blackovým-Scholesovým modelem. Ve čtvrté kapitole jsou využity zobecnění pojmů z druhé kapitoly na konstrukci frakcionálního skokového Blackova-Scholesova modelu a odvození explicitního vzorce pro cenu evropské call opce. Pátá kapitola analyzuje dlouhou paměť v simulovaných a empirických datech. Klíčová slova: Blackův-Scholesův model, frakcionální Brownův pohyb, frakcionální skokový proces, dlouhá paměť, oceňování opcí.
|
|
|
Blackovy-Scholesovy modely oceňování opcí
Čekal, Martin
Název práce: Blackovy-Scholesovy modely oceňování opcí Autor: Martin Čekal Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc., Matematicko-fyzikální fakulta UK v Praze, Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. Abstrakt: V předložené práci studujeme rozšíření Blackova-Scholesova modelu pomocí frakcionálního Brownova pohybu a skokových procesů. Hlavním výsledkem je odvození ceny call opce pro frakcionální skokový trh. První kapitola se zabývá fenoménem dlouhé paměti a slouží jako úvod do problematiky jejího modelování pomocí diskrétních a spojitých modelů. Ve druhé kapitole je zaveden frakcionální Brownův pohyb a odpovídající stochastická analýza, dále rozšíříme pojem Lévyho procesu a skokového procesu. Třetí kapitola se zabývá frakcionálním Blackovým-Scholesovým modelem. Ve čtvrté kapitole jsou využity zobecnění pojmů z druhé kapitoly na konstrukci frakcionálního skokového Blackova-Scholesova modelu a odvození explicitního vzorce pro cenu evropské call opce. Pátá kapitola analyzuje dlouhou paměť v simulovaných a empirických datech. Klíčová slova: Blackův-Scholesův model, frakcionální Brownův pohyb, frakcionální skokový proces, dlouhá paměť, oceňování opcí.
|
|
|
Stochastic Integrals Driven by Isonormal Gaussian Processes and Applications
Čoupek, Petr ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Dostál, Petr (oponent)
Stochastické integrály řízené isonormálními gaussovskými procesy a aplikace Diplomová práce - Petr Čoupek Abstrakt V diplomové práci je podrobně studován stochastický integrál deterministických funkcí s hod- notami v Hilbertově prostoru v případě, kdy řídící proces je tvaru βt = t 0 K(t, s)dWs, kde W je Brownův pohyb a K je kvardaticky integrovatelné jádro. Takovéto procesy zobecňují případ frakcionálního Brownova pohybu BH , definovaného pomocí Hurstova parametru H ∈ (0, 1). Na jádro K jsou uvažovány dvě sady podmínek, odpovídající regulárnímu a singulárnímu případu a studován byl konkrétně případ regulární. Hlavním výsledkem je, že prostor β-integrabilních funkcí lze vnořit do prostoru L 2 1+2α ([0, T]; V ), což v případě frakcionálního Brownova pohybu odpovídá prostoru L 1 H ([0, T]). Dále byl zaveden cylindrický gaussovský volterrovský proces a vůči němu stochastický integrál deterministckých funkcí s hodnotami v prostoru lineárních operátorů. Výsledky byly dále aplikovány v teorii stochastických diferenciálních rovnic (SDR), konkrétně byla dokázána měřitelnost řešení dané SDR ve tvaru ,,mild ,, .
|
|
|
Frakcionální Brownův pohyb
Rubín, Tomáš ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Kříž, Pavel (oponent)
Frakcionální Brownův pohyb je netriviálním zobecněním standardního Brownova pohybu (Wienerova procesu). Upouští od nezávislosti přírůstků, závislost je naopak kontrolována Hurstovým indexem. Práce se zabývá důkazy vlastností frakcionálního Brownova pohybu, mezi které patří korelace mezi přírůstky, soběpodobnost a dlouhodobá závislost. Zabývá se také analytickými vlastnostmi jeho trajektorií - hölderovskostí a nediferencovatelností. Práce přináší důkaz tvrzení o nediferencovatelnosti skoro jistě v silnější verzi, než v jaké bývá publikován v pracích o frakcionálním Brownově pohybu. Dále se práce zabývá simulacemi trajektorií frakcionálního Brownova pohybu aplikovatelnými i na obecné gaussovské procesy. Další náplní je bodový odhad Hurstova indexu. 1
|
host ::
RSS.