|
|
Riemannův integrál pro zobrazení do Banachových prostorů
Mrhal, Filip ; Lukeš, Jaroslav (vedoucí práce) ; Zajíček, Luděk (oponent)
Název práce: Riemannův integrál pro zobrazení do Banachových prostorů Autor: Filip Mrhal Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: Prof. RNDr. Jaroslav Lukeš, DrSc., Katedra matema- tické analýzy Abstrakt: V této práci studujeme společné vlastnosti a rozdíly v chování Rie- mannova integrálu pro zobrazení do reálných čísel a do libovolného Banachova prostoru. Nejpodstatnější je pro nás v tomto směru Lebesgueova věta, rieman- novsky integrovatelná zobrazení do některých Banachových prostorů totiž necha- rakterizuje, tak jak je tomu v případě reálných funkcí. Toto je, pro případ Bana- chových prostorů známých ze základního kurzu funkcionální analýzy, dokázáno pomocí několika protipříkladů. Klíčová slova: Riemannův integrál, Banachův prostor, Lebesgueova věta 1
|
|
|
Jamesova věta a problém hranice
Lechner, Jindřich ; Spurný, Jiří (vedoucí práce) ; Kurka, Ondřej (oponent)
Nechť G je podmnožinou duálu reálného Banachova prostoru X a F ⊂ G. Pak F je Jamesovou hranicí G, jestliže každý w∗ -spojitý lineární funkcionál na X nabývá v nějakém bodě množiny F svého suprema na G. Ptáme se, zda nor- mově omezená množina v X, která je spočetně kompaktní v topologii generované F, je nutně sekvenciálně kompaktní v topologii generované G. Pozitivní řešení tohoto problému je hlavním obsahem této práce. Jako důsledek je pak získán Jamesův popis slabě kompaktních množin v reálném Banachově prostoru. Díky Eberleinově-Šmuljanově větě vyplyne kladné řešení tzv. problému hranice jako speciální případ pozitivní odpovědi na výše nastolenou otázku. Ta je dále disku- tována v situaci Banachových prostorů nad tělesem komplexních čísel. V takovém případě nemůžeme použít starou definici Jamesovy hranice. Ukazuje se však, že je možné "přirozeným" způsobem redefinovat pojem Jamesovy hranice, a že za této nové definice dokážeme též na naši otázku odpovědět pozitivně. 1
|
|
|
Riemannův integrál pro zobrazení do Banachových prostorů
Mrhal, Filip ; Lukeš, Jaroslav (vedoucí práce) ; Zajíček, Luděk (oponent)
Název práce: Riemannův integrál pro zobrazení do Banachových prostorů Autor: Filip Mrhal Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: Prof. RNDr. Jaroslav Lukeš, DrSc., Katedra matema- tické analýzy Abstrakt: V této práci studujeme společné vlastnosti a rozdíly v chování Rie- mannova integrálu pro zobrazení do reálných čísel a do libovolného Banachova prostoru. Nejpodstatnější je pro nás v tomto směru Lebesgueova věta, rieman- novsky integrovatelná zobrazení do některých Banachových prostorů totiž necha- rakterizuje, tak jak je tomu v případě reálných funkcí. Toto je, pro případ Bana- chových prostorů známých ze základního kurzu funkcionální analýzy, dokázáno pomocí několika protipříkladů. Klíčová slova: Riemannův integrál, Banachův prostor, Lebesgueova věta 1
|
|
|
Microscopic sets and drops in Banach spaces
Pospíšil, Marek ; Lukeš, Jaroslav (vedoucí práce) ; Fabian, Marián (oponent)
Nejprve definujeme mikroskopické množiny na reálné ose a zkoumáme jejich vztah k množinám Hausdorffovy a Lebesgueovy míry nula a k množinám první kategorie. V druhé části dokazujeme Bishop-Phelpsovu větu a její ekvivalenci s Ekelandovým variačním principem, větou o okvětních plátcích, Danešovou větou o kapce, Brézis-Browderovou větou a Caristi- Kirkovou větou. Přitom definujeme pojem kapky jako konvexní obal množiny a bodu. V části třetí dokazujeme, že vlastnost kapky je v jistém smyslu ekvivalentní reflexivitě. Prostor má vlastnost kapky, pokud kapku z Danešovy věty lze najít i v obecnějším případě, než zaručuje věta samotná. Dále tuto vlastnost charakterizujeme pomocí aproximativní kompaktnosti. V poslední části se zabýváme mikroskopickou vlastností kapky, která je oproti původní vlastnosti kapky méně přísná. Zjistíme však, že tyto dva pojmy jsou pro nekompaktní množiny v reflexivních prostorech ekvivalentní. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Microscopic sets and drops in Banach spaces
Pospíšil, Marek ; Lukeš, Jaroslav (vedoucí práce) ; Zelený, Miroslav (oponent)
Nejprve definujeme mikroskopické množiny na reálné ose a zkoumáme jejich vztah k množinám Hausdorffovy a Lebesgueovy míry nula a k množinám první kategorie. V druhé části dokazujeme Ekelandův variační princip a jeho ekvivalenci s větou o okvětních plátcích, Danešovou větou o kapce, Brézis-Browderovou větou, Phelpsovým lemmatem a Caristi-Kirkovou větou. Dále zkoumáme jeho vztah k Bishop-Phelpsově větě. Přitom definujeme pojem kapky jako konvexní obal množiny a bodu. V části třetí dokazujeme, že vlastnost kapky je v jistém smyslu ekvivalentní reflexivitě. Prostor má vlastnost kapky, pokud kapku z Danešovy věty lze najít i v obecnějším případě, než zaručuje věta samotná. Dále tuto vlastnost charakterizujeme pomocí aproximativní kompaktnosti. V poslední části se zabýváme mikroskopickou vlastností kapky, která je oproti původní vlastnosti kapky méně přísná. Zjistíme však, že tyto dva pojmy jsou pro jisté množiny v reflexivních prostorech ekvivalentní.
|
|
|
Jamesova věta a problém hranice
Lechner, Jindřich ; Spurný, Jiří (vedoucí práce) ; Kurka, Ondřej (oponent)
Nechť G je podmnožinou duálu reálného Banachova prostoru X a F ⊂ G. Pak F je Jamesovou hranicí G, jestliže každý w∗ -spojitý lineární funkcionál na X nabývá v nějakém bodě množiny F svého suprema na G. Ptáme se, zda nor- mově omezená množina v X, která je spočetně kompaktní v topologii generované F, je nutně sekvenciálně kompaktní v topologii generované G. Pozitivní řešení tohoto problému je hlavním obsahem této práce. Jako důsledek je pak získán Jamesův popis slabě kompaktních množin v reálném Banachově prostoru. Díky Eberleinově-Šmuljanově větě vyplyne kladné řešení tzv. problému hranice jako speciální případ pozitivní odpovědi na výše nastolenou otázku. Ta je dále disku- tována v situaci Banachových prostorů nad tělesem komplexních čísel. V takovém případě nemůžeme použít starou definici Jamesovy hranice. Ukazuje se však, že je možné "přirozeným" způsobem redefinovat pojem Jamesovy hranice, a že za této nové definice dokážeme též na naši otázku odpovědět pozitivně. 1
|
host ::
RSS.