|
| |
|
|
Behavior of total least squares method for models with multiple observations
Slavenko, Matvei ; Hnětynková, Iveta (vedoucí práce) ; Tůma, Miroslav (oponent)
Linear approximation problems arise in various applications and can be solved by a large variety of methods. One of such methods is total least squares (TLS), an approach that allows to correct errors both in the linear model and available set of observations. In this work we collect and compare the main theoretical results related to TLS with multiple right-hand side. Particularly we describe the classification of TLS problems and summarise the solvability analysis that has currently been spread over various sources. The second part of the work is dedicated to an approach called core data reduction (CDR) and proof-of-concept programme demonstrating the CDR numerical behaviour. 1
|
|
|
Iterační výpočty vibrační dynamiky při rozptylu elektronu molekulou
Šarmanová, Martina ; Čížek, Martin (vedoucí práce) ; Tůma, Miroslav (oponent)
Práce se zabývá metodami pro numerické řešení soustavy lineárních algebraických rovnic, která vyvstává z fyzikálního modelu srážky elektronu s molekulou. V první třetině práce jsou shrnuty potřebné základní pojmy molekulové fyziky týkající se teorie vibrací molekul. Rovněž je zde stručně popsán tzv. Jahnův-Tellerův model popisující vibrační dynamiku dočasně vzniklého aniontu pomocí soustavy stacionárních Schrödingerových rovnic. Následně je ukázáno, jak lze tuto soustavu integro-diferenciálních rovnic převést na soustavu lineárních algebraických rovnic se symetrickou maticí. V další části práce je postupně rozebráno devět metod (iteračních i přímých) pro řešení získané soustavy lineárních rovnic s ohledem na její speciální strukturu. Na konci teoretické části je popsána také hlavní myšlenka předpodmínění iteračních metod. Poslední třetina práce je věnována numerickým experimentům, jejichž cílem je především srovnání efektivity dříve popsaných metod, přičemž je kladen důraz na použitelnost jednotlivých metod v rámci fyzikálních simulací srážek elektronů s molekulami. 1
|
|
|
Vícekriteriální metody dělení grafů
Houška, Ondřej ; Tůma, Miroslav (vedoucí práce) ; Hnětynková, Iveta (oponent)
Práce se zabývá dělením grafů a aplikací dělení grafů v paralelních algoritmech pro řešení velkých soustav lineárních rovnic s řídkou maticí. Problém dělení grafů je důkladně vyložen a jsou zde popsány standardní metody dělení grafů. Aplikační část se zaměřuje především na předpodmíněnou metodu sdružených gradientů. Jako předpodmínění se používá varianta neúplné Choleského faktorizace založená na odvrhovacím parametru. V práci je vysvětlena role dělení grafů v paralelní variantě této metody a zabývám se v ní vyvažováním zátěže na jednotlivých procesorech. 1
|
|
|
Řešení problému nejmenších čtverců s maticemi o proměnlivé hustotě nenulových prvků
Riegerová, Ilona ; Tůma, Miroslav (vedoucí práce) ; Tichý, Petr (oponent)
Problém nejmenších čtverc· (dále jen LS problém) je aproximační úloha řešení soustav lineárních algebraických rovnic, které jsou z nějakého d·vodu za- tíženy chybami. Existence a jednoznačnost řešení a metody řešení jsou známé pro r·zné typy matic, kterými tyto soustavy reprezentujeme. Typicky jsou ma- tice řídké a obrovských dimenzí, ale velmi často dostáváme z praxe i úlohy s maticemi o proměnlivé hustotě nenulových prvk·. Těmi se myslí řídké matice s jedním nebo více hustými řádky. Zde rozebíráme metody řešení tohoto LS pro- blému. Obvykle jsou založeny na rozdělení úlohy na hustou a řídkou část, které řeší odděleně. Tak pro řídkou část m·že přestat platit předpoklad plné sloupcové hodnosti, který je potřebný pro většinu metod. Proto se zde speciálně zabýváme postupy, které tento problém řeší. 1
|
|
|
Reduced communication algoritms: theory and practice
Slevínský, Rostislav ; Tůma, Miroslav (vedoucí práce) ; Rozložník, Miroslav (oponent)
Vývoj v paralelním výpočetním prostředí v posledním desetiletí přichází s otázkou, jak tato prostředí používat při řešení velkých algebraických systémů. V této práci se zaměřujeme na Krylovovské metody (konkrétně na metodu konjugovaných gradientů), jako jeden z nejsilnějších nástrojů, a možností jejich paralelizace. Zaobíráme se Krylovovskými metodami vyhýbajícími se komunikaci mezi jednotlivými jádry a různým problémům, které toto přináší, např. ztrátou ortogonality nebo zpožděním konvergence. Krylovovské metody se obvykle používají společně s předpodmíněním, proto je část této práce věnována předpodmiňování v paralelních výpočetních prostředích.
|
|
|
Approximations by low-rank matrices and their applications
Outrata, Michal ; Tůma, Miroslav (vedoucí práce) ; Rozložník, Miroslav (oponent)
Metody Krylovovských podprostorů představují jeden z běžně používaných přístupů k řešení soustav lineárních algebraických rovnic. K dosažení efek- tivní metody je často zapotřebí tzv. předpodmínění celé soustavy, tedy trans- formace daného problému před aplikací samotné iterační metody. Jednou z vlastností původní soustavy, která často umožňuje konstrukci efektivních předpodmínění, je strukturální řídkost matice systému. Vývoj a výzkum po- sledních let přinesl nový, související fenomén tzv. datovou řídkost matice. Na rozdíl od strukturální řídkosti, datová řídkost odkazuje na nevyváže- nost informací, které jsou při výpočtu využitelné. U většiny problémů toto odpovídá tomu, že bloky dané matice jsou dobře aproximovatelné maticemi nízkých hodností. Úprava klasických metod tak, aby využívaly tohoto speci- fického rysu výrazně mění jejich charakter. Tato práce se zaobírá možnostmi, jak navrhnout a zkonstruovat předpodmínění pro metodu sdružených gradi- entů pro problémy se symetrickou a pozitivně definitní matice, založené na Choleského faktorizaci pro datově řídké matice. Metody využívající datovou řídkost se vyvíjejí velmi rychle a ovlivňují nikoliv pouze oblast iterativních metod a jejich předpodmínění. Hierarchické maticové formáty založené právě na datové řídkosti mohou být odvozeny jak na základě...
|
|
|
Aproximace pomocí matic nízkých hodností
Jarolímová, Alena ; Tůma, Miroslav (vedoucí práce) ; Vlasák, Miloslav (oponent)
Práce je zaměřena na použití matic s nízkou hodností v numerické matema- tice. Nejprve uvádíme metodu sdružených gradientů a její předpodmínění, které pak využíváme v dalších částech. Následně popisujeme čtyři různé způsoby apro- ximace pomocí matic nízké hodnosti. Uvádíme zde klasickou aproximaci pomocí singulárního rozkladu. Dále na modelovém příkladu popisujeme hierarchické ma- tice, které jsou úzce propojené s aplikacemi ve fyzice a technice. Následně se v kapitole o algebraických přístupech věnujeme pseudo-skeletnímu rozkladu. Uve- deme a dokážeme větu o odhadu chyby tohoto rozkladu a zmíníme také algo- ritmus Maxvol, pomocí kterého je možné pseudo-skeletní rozklad spočítat pro úzké matice. Další část věnujeme pravděpodobnostním přístupům a řešiči pro- blému nejmenších čtverců Blendenpik. Nakonec popíšeme výsledky experimentů zaměřených na předpodmínění pomocí algoritmu Maxvol. 1
|
|
| |
|
|
Neúplná Choleského faktorizace
Hoang, Phuong Thao ; Tůma, Miroslav (vedoucí práce) ; Tichý, Petr (oponent)
Práce se zabývá neúplnou Choleského faktorizací a jejími variantami, které mají velký význam pro předpodmiňování úloh se symetrickou a pozitivně definitní maticí. Zde se soustředíme především na řešení těchto velmi rozsáhlých soustav s řídkými maticemi, které vznikají v mnoha technických a přírodovědných oborech, pomocí předpodmíněných sdružených gradientů. Kromě dalších postupů můžeme na soustavu aplikovat Choleského faktorizaci přibližně, neúplně. V této práci studujeme existenci této faktorizace a chování a potenciál různých variant základního algoritmu. 1
|
host ::
RSS.