|
|
Multilevel methods and adaptivity
Vacek, Petr ; Strakoš, Zdeněk (vedoucí práce) ; Tichý, Petr (oponent)
Po uvedení modelového příkladu je v práci odvozena jeho slabá formulace, vyšetřena existence a jednoznačnost řešení a představena Galerkinova metoda konečných prvků. Poté jsou stručně popsány některé stacionární iterační metody a na příkladu je vysvětlena jejich zhlazovací vlastnost. Následuje uvedení nejznámějších multigridních schémat, tj. two-grid correction scheme, V-cycle scheme a full multigrid algorithm. Poté je proveden experiment ukazující rozdíl mezi použitím přímého a iteračního řešiče na nejhrubší síti a experiment, ve kterém uvažujeme perturbaci vektoru opravy simulující částečné hardwarové selhání. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Analysis of Krylov subspace methods
Gergelits, Tomáš ; Strakoš, Zdeněk (vedoucí práce) ; Hnětynková, Iveta (oponent)
Název práce: Analýza Krylovovských metod Autor: Tomáš Gergelits Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc. Abstrakt: Po odvození metody sdružených gradientů (CG) a krátkém přehledu souvislostí s dalšími oblastmi matematiky se práce zaměřuje na konvergenční chování v přesné aritmetice i v aritmetice s konečnou přesnotí. Podrobně je popsán principiální rozdíl mezi CG a Čebyševovou semi-iterační metodou a je diskutována praktická využitelnost široce rozšířeného lineárního odhadu založe- ného na vlastnostech Čebyševových polynomů. Na příkladu odhadů rychlosti konvergence založených na složených polynomech je ukázána nutnost zahrnutí vlivu zaokrouhlovacích chyb do jakýchkoli úvah o rychlosti konvergence metody CG, které mají být využitelné v praktických výpočtech. Blízkost navzájem si odpovídajících CG aproximací vzniklých ve výpočtech v aritmetice s konečnou přesností a v přesné aritmetice je studována porovnáním jejich trajektorií. Práce je zakončena diskuzí problémů spojených s citlivostí Gauss-Christoffelovy kvadra- tury, jež s metodou CG úzce souvisí. Na poslední dvě témata může být navázáno v další práci. Klíčová slova: Metoda...
|
|
|
Teorie a aplikace krylovovských metod v souvislostech
Gergelits, Tomáš ; Strakoš, Zdeněk (vedoucí práce) ; Hnětynková, Iveta (oponent)
Název práce: Teorie a aplikace Krylovovských metod v souvislostech Autor: Tomáš Gergelits Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí bakalářské práce: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc. Abstrakt: Po seznámení se s vlastnostmi Čebyševových polynomů a základním přehledem stacionárních iteračních metod je práce zaměřena na studium metody konjugovaných gradientů (CG), Krylovovské metody vhodné pro symetrické a pozitivně definitní matice. Je zdůrazněn principiální rozdíl mezi stacionárními a Krylovovskými metodami. Metoda konjugovaných gradientů je odvozena využi- tím minimalizace kvadratického funkcionálu a detailně je ukázána souvislost s dal- šími oblastmi matematiky (Lanczosova metoda, ortogonální polynomy, kvadra- turní vzorce, problém momentů). Je vyzdvihnut vliv konečné aritmetiky. Na teoretickou část navazují experimenty, které studují odhad odvozený v přesné aritmetice a který je často uváděný v literatuře. Je ukázáno, že tento odhad nutně selhává v praktických výpočtech. Na závěr práce jsou popsány dva otevřené problémy, jež mohou být předmětem dalšího studia. Klíčová slova: Metody Krylovovských podprostorů, konergenční vlastnosti, nu- merická stabilita, spektrální informace, odhady rychlosti...
|
|
|
Maticové funkce a jejich numerické aproximace
Suchá, Darja ; Hnětynková, Iveta (vedoucí práce) ; Strakoš, Zdeněk (oponent)
V předložené práci studujeme numerické metody pro aproximaci funkce f matice A. Nejprve uvedeme teoretický základ - shrneme možné definice maticových funkcí a jejich vlastnosti. Dále představíme základní numerické metody výpočtu aproximace f(A). V mnoha aplikacích potřebujeme aproximovat maticovou funkci f(A) aplikovanou na předem daný vektor b, tj. f(A)b. Zejména, pokud A je velká a řídká, výpočet aproximace f(A) a následné přenásobení vektorem b může být výpočetně velmi náročné. Proto se v dalších kapitolách zabýváme numerickými metodami, které počítají přímo aproximaci f(A)b. Hlavní důraz je kladen na polynomiální aproximaci ve smyslu nejmenších čtverců a několik modifikací Krylovovských metod. Numerické experimenty ukazují srovnání konvergence a časové náročnosti výpočtu aproximace. 1
|
|
|
Odhady algebraické chyby a zastavovací kritéria v numerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic
Papež, Jan ; Strakoš, Zdeněk (vedoucí práce) ; Vlasák, Miloslav (oponent)
Název práce: Odhady algebraické chyby a zastavovací kritéria v numerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic Autor: Jan Papež Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc. Abstrakt: Po uvedení modelového problému a jeho vlastností je v práci popsána metoda sdružených gradientů (Conjugate Gradient Method - CG), jsou uvedeny odhady energetické normy chyby a je navržena heuristika pro adaptivní zpřesňování odhadů ve výpočtech. Na konkrétních příkladech je ukázán rozdíl v lokálním chování algebraické a diskretizační chyby v nume- rickém řešení modelového problému. Dále jsou uvedeny a posteriori odhady diskretizační a celkové chyby, které zahrnují chybu řešení algebraické sou- stavy. Myšlenka použití více sítí při řešení modelového problému je ukázána na víceúrovňové metodě (multigrid method). Poté je popsána Deuflhardova metoda Cascadic Conjugate Gradient Method (CCG), pro kterou jsou odvo- zena nová zastavovací kritéria s využitím odhadů algebraické a diskretizační chyby popsaných v předchozích částech předložené práce. Na závěr je metoda CCG s novými zastavovacími kritérii testována. Klíčová slova: numerické řešení parciálních...
|
|
|
Od problému momentů k moderním iteračním metodám - historické souvislosti a inspirace
Tůma, Martin ; Strakoš, Zdeněk (vedoucí práce) ; Zítko, Jan (oponent)
V této práci studujeme spojistosti mezi problémem momentů a moderními iteračními metodami. Uvedeme krátké shrnutí historie studia problému momentů. Ukážeme několik jeho definic a uvedeme motivace a výsledky několika významných matematiků, kteří se problémem momentů ve své práci zabývali. Dále ukážeme, jak spolu souvisí různé definice problém momentů, Gauss-Christeffelova kvadratura, teorie ortogonálních polynomů, řetězové zlomky, Sturm-Liouvillův problém, redukce modelu v lineárních dynamických systémech a některé iterační metody, jako je Lanczova metoda a metoda sdružených gradientů.
|
|
|
Neinterpolační a zjemněné interpolační kvadratury
Novelinková, Martina ; Kofroň, Josef (vedoucí práce) ; Strakoš, Zdeněk (oponent)
Tato práce se převážně zabývá tématem zjemněných interpolačních a neiterpolačních kvadraturních vzorců. Začátek je věnovaný obecnému úvodu do problematiky numerické integrace a jsou zde uvedeny základní poznatky o interpolačních kvadraturních vzorcích. Dále v práci zkoumáme vlastnosti ortogonálních polynomů, které jsou důležitým nástrojem při budování zjemněných interpolačních kdvadratur. Nosná část textu je věnována podrobnému popisu některých speciálních tříd zjemněných interpolačních kvadraturních vzorců, jako například obecné a klasické Gaussově kdvadratuře a jejím modifikacím. Lze zde také najít shrnutí nejdůležitějších vlastností Rombergovy kvadraturní schémy a je načtrtnuta konstrukce odhadů chyby pro tento vzorec. Práce obsahuje taktéž numerické experimenty, tedy praktické ověření uvedených vlastností pro Clenshaw-Curtisovu schému, Rombergovu kvadraturu a jejich porovnání se složeným lichoběžníkovým pravidlem.
|
|
|
Teoretické otázky popisu chování krylovovských metod
Strnad, Otto ; Strakoš, Zdeněk (vedoucí práce) ; Zítko, Jan (oponent)
Předkládaná diplomová práce se zabývá analýzou konvergence metody GMRES. Vysvětluje základní principy metod CG, MINRES a GMRES. Práce shrnuje některé známé konvergenční výsledky týkající se těchto metod. Shrnu- je také známé charakterizace matic a pravých stran generujících shodné Krylovovské reziduální prostory. Jsou ukázány souvislosti a rozdly mezi různými úhly pohledu na analýzu rychlosti konvergence metody GMRES. Předpokládáme, že pokud se konvergenční křivka metody GMRES apliko- vané na matici , jež není normální, a pravou stranu chová, jako by byla určena vlastními čísly matice , potom existuje téměř normální matice, jež má shodné spektrum, jako matice a pro pravou stranu , shodnou GMRES konvergenční křivku, jako matice (Předpokládáme, že počáteční aproxi- mace 0 = 0). K prozkoumání tohoto předpokladu je provedeno několik nu- merickch experimentů. Předkládaná práce popisuje nepublikovaný výsledek Gérarda Meuranta, vzorec pro normu k-té chyby metody GMRES aplikované na matici a pravou stranu a odvození tohoto vzorce. Dále je odvozen horní odhad -té chyby GMRES. Tento odhad je minimalizován přes spek- trum.
|
|
| |
|
| |
host ::
RSS.