|
|
Central and Non-Central Limit Theorems
Kiška, Boris ; Čoupek, Petr (vedoucí práce) ; Beneš, Viktor (oponent)
V této práci zkoumáme centrální limitní věty (CLT) a jejich různé varianty. Zpočátku je uvedena CLT pro nezávislé a stejně rozdělené náhodné veličiny. Dále studujeme případ nezávislých a nestejně rozdělených náhodných veličin, kde porovnáme různé verze a různé podmínky, za kterých CLT platí. Tyto klasické výsledky jsou prezentovány spolu s několika protipříklady, které porušují předpoklady CLT různými způsoby. V této práci je také uvažován případ závislých náhodných veličin. Zejména CLT pro a-mixující náhodné posloupnosti je dána společně s Rosenblattovým protipříkladem, který zahrnuje limitní ne- Gaussovské rozdělení, které se nyní nazývá Rosenblattovo rozdělení.
|
|
|
Riemann zeta function
Čoupek, Petr ; Rokyta, Mirko (vedoucí práce) ; Zahradník, Miloš (oponent)
Riemannova zeta funkce je v současné matematice důležitým nástrojem ana- lytické teorie čísel s aplikacemi zejména v kvantové mechanice, teorii pravděpo- dobnosti a statistice. Zavedena Bernhardem Riemannem v roce 1859, zeta funkce je ústředním objektem mnoha doposud nevyřešených problémů a z dosavadních výsledků je zřejmý její význam pro další vývoj na poli teorie čísel. Tato práce se soustředí na základní vlastnosti Riemannovy zeta funkce, zejména problematiku kořenů zahrnující dokázaná tvrzení o rozložení kořenů vně i uvnitř kritického pásu, formulaci Riemannovy hypotézy a problematiku iracionality vybraných hodnot zeta funkce včetně důkazu iracionality ζ(3). 1
|
|
|
Stochastic Evolution Equations
Čoupek, Petr ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Garrido-Atienza, María J. (oponent) ; Hlubinka, Daniel (oponent)
Stochastické evoluční rovnice Petr Čoupek Disertační práce Abstrakt Tématem práce jsou lineární stochastické evoluční rovnice s aditivním regulárním volterrovským šumem. Regulární volterrovské procesy jsou stochastické procesy, které nemusejí být markovské, gaus- sovské a ani nemusejí být semimartingaly, ale namísto těchto vlastností mají jistou kovarianční struk- turu. Konkrétní příklady zahrnují frakcionální Brownův pohyb s Hurstovým parameterem H > 1/2 a, v negaussovském případě, Rosenblattův proces. Řešení uvažovaných stochastických rovnic je dáno vzorcem pro variaci konstant (v tzv. " mild" tvaru) a nabývá hodnot v separabilním Hilbertově pro- storu nebo v prostoru Lp(D; µ) pro velké p. V hilbertovském případě je studována zejména existence a regularita tohoto řešení a dále jeho chování pro velké časy. V případě, že řešení nabývá hodnot v prostoru Lp, je studována existence a regularita tohoto řešení a v konkrétních případech stochas- tických parciálních diferenciálních rovnic je ukázáno, že řešením je náhodné pole, které je spojité jak v časové, tak v prostorové proměnné.
|
|
|
Variation of Fractional Processes
Kiška, Boris ; Čoupek, Petr (vedoucí práce) ; Maslowski, Bohdan (oponent)
V tejto práci študujeme rôzne pojmy variácie určitých stochastických procesov, konkrétne $p$-variáciu, $p$-tú variáciu pozdĺž postupnosti delení po trajektóriách a $p$-tú variáciu pozdĺž postupnosti delení. Študujeme tieto koncepty pre frakcionálne Brownove pohyby a Rosenblattove procesy. Frakcionálny Brownov pohyb je Gaussovský proces a v posledných dvoch desaťročiach sa intenzívne rozvíjal a študoval kvôli jeho dôležitosti pri modelovaní rôznych javov. Na druhej strane, Rosenblattovmu procesu, čo je ne-Gaussovský proces, ktorý sa dá použiť na modelovanie ne-Gaussovských fluktuácií, sa nevenovala taká pozornosť ako frakcionálnemu Brownovmu pohybu. Z tohto dôvodu sa v tejto práci sústredíme na tento proces a uvádzame niekoľko pôvodných výsledkov, ktoré sa zaoberajú ergodicitou, $p$-variáciou, $p$-tou variáciou pozdĺž postupnosti delení po trajektóriách a $p$-tou variáciou pozdĺž postupnosti delení. Boris Kiška
|
|
|
Kolmogorovova-Čencovova věta
Lebeda, Matěj ; Čoupek, Petr (vedoucí práce) ; Kříž, Pavel (oponent)
Existuje postačující podmínka pro spojitost trajektorií náhodného procesu? Nebo lze alespoň náhodný proces modifikovat tak, aby jeho trajektorie již spojité byly? Odpověď nám dává Kolmogorovova-Čencovova věta, s jejímž tvrzením a důkazem se v této práci seznámíme. Nejprve zavedeme pojem reálného náhod- ného procesu, určitou pozornost věnujeme tzv. gaussovským procesům. Hlavním bodem druhé kapitoly jsou Kolmogorovova-Čencovova věta s důkazem a tvrzení, o která se důkaz věty opírá. V závěrečné třetí kapitole si ukážeme aplikace věty na známých gaussovských procesech, jako je třeba Wienerův proces, ale i další. Naopak ze skupiny procesů, které podmínku věty nesplňují, se na závěr zaměříme na Poissonův proces. 1
|
|
|
Hájkova - Rényiova nerovnost
Bělohlávek, Ivan ; Prášková, Zuzana (vedoucí práce) ; Čoupek, Petr (oponent)
Název práce: Hájkova-Rényiova nerovnost Autor: Ivan Bělohlávek Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Zuzana Prášková, CSc., Katedra pravdě- podobnosti a matematické statistiky Abstrakt: V této práci se zabýváme Hájkovou-Rényiovou nerovností pro mi- xingaly a jejich speciální případy. Nejprve dokážeme Hájkovu-Rényiovu nerov- nost pro martingaly. Následně se věnujeme vztahu Kolmogorovovoy a Hájkovy- Rényiovy nerovnosti a důkazu zákona velkých čísel pomocí Hájkovy-Rényiovy nerovnosti. Poté se podrobně věnujeme důkazu jisté maximální nerovnosti pro mixingaly, s jejíž pomocí potom odvodíme Hájkovu-Rényiovu nerovnost pro mi- xingaly. Tento obecný výsledek poté aplikujeme na řadu speciálních případů mi- xingalů. Klíčová slova: Hájek-Rényiova nerovnost, martingaly, mixingaly, lineární proces 1
|
|
|
Trajektorie frakcionálních Brownových pohybů
Roubínová, Veronika ; Čoupek, Petr (vedoucí práce) ; Maslowski, Bohdan (oponent)
Tato práce se věnuje frakcionálnímu Brownovu procesu a především vlastnostem jeho trajektorií. Nejprve jsou definovány základní pojmy a samotný frakcionální Brownův po- hyb. Následně jsou odvozeny jeho základní vlastnosti, mezi které patří korelace přírůstků a soběpodobnost. V souvislosti s regularitou trajektorií je ukázána jejich spojitost s vy- užitím Kolmogorovovy-Čencovovy věty. V hlavní části práce je poté podrobně dokázán zákon iterovaného logaritmu, který je dále doplněn o simulace limitního chování trajek- torií frakcionálního Brownova pohybu a využit následně v důkazu nediferencovatelnosti trajektorií. 1
|
|
|
Semilinear stochastic evolution equations
Kršek, Daniel ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce) ; Čoupek, Petr (oponent)
Stochastické parciální diferenciální rovnice nachází uplatnění v řadě aplikovaných oblastí matematiky, jako například ve fyzice nebo finanční matematice. Velkou část těchto rovnic tvoří lineární rovnice s aditivním šumem. V některých případech ale koefi- cient driftu obsahuje navíc problematický nelineární člen, kvůli němuž nelze standardními metodami nalézt řešení, a to dokonce ani ve tvaru "mild". V těchto situacích můžeme použít vhodnou transformaci pravděpodobnostního prostoru a nalézt řešení v takzvaném slabém smyslu. Tato práce se zabývá semilineárními stochastickými evolučními rovnicemi v separabilním Hilbertově prostoru s řídícím procesem Volterrovského typu. Tyto pro- cesy tvoří velkou skupinu procesů, které lze chápat jako zobecnění Wienerova procesu, a mají značné uplatnění ve stochastickém modelování. Slabá řešení rovnic s těmito pro- cesy byla ale doposud studována pouze pro frakcionální Brownův pohyb. Tato práce představuje zoběcnění Girsanovovy věty pro obecné cylindrické Gaussovské Volterrovské procesy a důkaz existence slabého řešení za jistých podmínek. V práci je navíc dokázáno, že v jistých případech lze zaručit jednoznačnost rovnice v distribuci. Dále se zabýváme rovnicemi, kde je uvažován Liouvilleův frakcionální Brownův pohyb jako řídící proces. Pro tento případ je představen důkaz...
|
|
|
Stochastic Evolution Equations
Čoupek, Petr ; Maslowski, Bohdan (vedoucí práce)
Stochastické evoluční rovnice Petr Čoupek Disertační práce Abstrakt Tématem práce jsou lineární stochastické evoluční rovnice s aditivním regulárním volterrovským šumem. Regulární volterrovské procesy jsou stochastické procesy, které nemusejí být markovské, gaus- sovské a ani nemusejí být semimartingaly, ale namísto těchto vlastností mají jistou kovarianční struk- turu. Konkrétní příklady zahrnují frakcionální Brownův pohyb s Hurstovým parameterem H > 1/2 a, v negaussovském případě, Rosenblattův proces. Řešení uvažovaných stochastických rovnic je dáno vzorcem pro variaci konstant (v tzv. " mild" tvaru) a nabývá hodnot v separabilním Hilbertově pro- storu nebo v prostoru Lp(D; µ) pro velké p. V hilbertovském případě je studována zejména existence a regularita tohoto řešení a dále jeho chování pro velké časy. V případě, že řešení nabývá hodnot v prostoru Lp, je studována existence a regularita tohoto řešení a v konkrétních případech stochas- tických parciálních diferenciálních rovnic je ukázáno, že řešením je náhodné pole, které je spojité jak v časové, tak v prostorové proměnné.
|
|
|
Stochastické diferenciální rovnice s gaussovským šumem a jejich aplikace
Camfrlová, Monika ; Čoupek, Petr (vedoucí práce) ; Večeř, Jan (oponent)
V diplomové práci je studován vícerozměrný frakcionální Brownův pohyb, který může mít různé hodnoty Hurstova parametru v různých složkách, pro tento proces je dokázána věta Girsanovova typu. Dále jsou ukázány dvě různé ap- likace této věty na stochastické diferenciální rovnice řízené vícerozměrným frak- cionálním Brownovým pohybem. Nejprve jsou nalezeny postačující podmínky pro existenci slabého řešení rovnic s driftem, který může být napsán jako součet regulární a neregulární části, a difúzním koeficientem, který závisí na čase a splňuje jisté podmínky zajištující jeho integrabilitu vzhledem k řídícímu procesu. Tyto výsledky jsou užity k důkazu existence slabého řešení rovnice popisující stochastický harmonický oscilátor. Věta Girsanovova typu je poté využita k nalezení maximálně věrohodného skalárního parametru, který se vyskytuje v driftu rovnice s aditivním šumem. 1
|
host ::
RSS.