|
|
Transfer eliptických křivek na torus
Bajko, Jaroslav ; Hrdina, Jaroslav (oponent) ; Kureš, Miroslav (vedoucí práce)
Eliptické křivky jsou nedílnou součástí novodobé matematiky a nacházejí uplatnění zejména v kryptografii. Práce se věnuje vizualizaci eliptických křivek a grupové operace nad nimi v reálné rovině a následně na toru. V úvodní části se proto zaměříme na analýzu eliptických křivek nad polem reálných čísel a především nad poli prvočíselnými. Důraz je kladen na grafické znázornění probírané problematiky, stejně také na experimentální výsledky v oblasti diskrétních eliptických křivek. Předmětem zájmu v další části práce je topologie, průzkum zobrazení mezi topologickými prostory a následné zavedení pojmu hladké variety. Odvodíme vhodná zobrazení, která umožňují přenos geometrických objektů z reálné roviny na torus. Na základě zmíněných zobrazení pracuje software vyvinutý speciálně pro účely vizualizace eliptických křivek na toru.
|
|
|
Počítání bodů na eliptických a hypereliptických křivkách
Vácha, Petr ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Drápal, Aleš (oponent)
V předložené práci studujeme algoritmy pro určování počtu bodů na eliptických a hypereliptických křivkách. V prvních kapitolách jsou popsány nejjednodušší a nejméně efektivní algoritmy. Dále jsou popisovány složitější a efektivnější algo- ritmy. Tyto algoritmy(zejména Schoofův algoritmus) jsou důležité v kryptografii založené na diskrétním logaritmu v grupě bodů eliptické resp. hypereliptické křiv- ky. Počet bodů křivky je totiž důležitý pro generování dat pro kryptosystém a pro vyloučení nežádoucích snadno napadnutelných případů. 1
|
|
|
Weilovo párování
Luňáčková, Radka ; Drápal, Aleš (vedoucí práce) ; Šťovíček, Jan (oponent)
Práce popisuje základní a alternativní definici Weilova párování a dokazuje jejich ekvivalenci. Výhodou alternativní definice je vhodnější tvar pro výpočty. Předpokládá se znalost základů teorie eliptických křivek v afinním smyslu. Je popsán pojem K-racionálního zobrazení a následně jeho dodefinování v nevlastním bodě, racionální zobrazení. Důkaz ekvivalence oněch dvou definic Weilova párování se opírá o Zobecněnou Weilovu reciprocitu, která je formulována pomocí lokálního symbolu a je jí věnována samostatná kapitola. Text vychází z dvou článků o eliptických křivkách z roků 1988 a 1990 od L. Charlapa, D. Robbinse a R. Coleyho, přičemž je odstraněna nepřesnost, které se při formulaci alternativní definice dopustili. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Komplexní algebraické křivky
Zvěřina, Adam ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Kazda, Alexandr (oponent)
Práce popisuje vztah mezi algebraickými křivkami a Riemannovými plochami. Za- vedeme Weierstrassovu ℘-funkci a dokážeme některé její vlastnosti. Dále nahlédneme, že každou komplexní algebraickou křivku lze chápat jako Riemannovu plochu. Nakonec ukážeme, že eliptickou křivku lze parametrizovat pomocí Weierstrassovy ℘-funkce. 1
|
|
|
Implementace kryptografických protokolů na čipové karty
Moravanský, Michal ; Hajný, Jan (oponent) ; Dzurenda, Petr (vedoucí práce)
Bakalářská práce je zaměřena na kryptografická schémata využívající atributová pověření, která se snaží minimalizovat negativní dopady na ochranu soukromí uživatelů při používání autentizačních systémů. Cílem bakalářské práce byla implementace dvou zadaných schémat na čipové karty jakožto zařízení s omezeným výkonem. Schémata se liší pouze ve schopnosti revokovat uživatele. Praktická část práce obsahuje analýzu a výběr platformy čipových karet a kryptografických knihoven v závislosti na výkonnosti. Práce dále popisuje architekturu obou schémat a jednotlivé protokoly včetně probíhající komunikace. Implementace atributového schématu byla provedena na programovatelnou čipovou kartu Multos (strana uživatele) a Raspberry Pi 2 (strana vydavatele a ověřovatele). Je také porovnávána časová náročnost vybraných algoritmů. V závěru jsou formulovány závislosti mající vliv na výslednou efektivitu a rychlost protokolu.
|
|
|
Counting the points on elliptic curves over finite fields
Eržiak, Igor ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Stanovský, David (oponent)
Cieľom tejto práce je vysvetliť a naimplementovať Schoofov algoritmus na počítanie bodov na eliptických krivkách nad konečnými telesami. Začneme definíciou eliptickej krivky ako množiny bodov spĺňajúcich istú rovnicu a pokračujeme definovaním operácie na tejto množine. Teoretické poznatky potrebné k algoritmu sú predstavené v druhej kapitole. Napokon je prestavený Schoofov algoritmus v tretej kapitole, doplnený o implementáciu v SageMath open-source software.
|
|
|
Cryptographic protocols for privacy protection
Hanzlíček, Martin ; Dzurenda, Petr (oponent) ; Hajný, Jan (vedoucí práce)
This work focuses on cryptographic protocol with privacy protection. The work solves the question of the elliptic curves and use in cryptography in conjunction with authentication protocols. The outputs of the work are two applications. The first application serves as a user and will replace the ID card. The second application is authentication and serves as a user authentication terminal. Both applications are designed for the Android operating system. Applications are used to select user attributes, confirm registration, user verification and show the result of verification.
|
|
| |
|
|
Weilovo párování
Luňáčková, Radka ; Drápal, Aleš (vedoucí práce) ; Šťovíček, Jan (oponent)
Práce popisuje základní a alternativní definici Weilova párování a dokazuje jejich ekvivalenci. Výhodou alternativní definice je vhodnější tvar pro výpočty. Předpokládá se znalost základů teorie eliptických křivek v afinním smyslu. Je popsán pojem K-racionálního zobrazení a následně jeho dodefinování v nevlastním bodě, racionální zobrazení. Důkaz ekvivalence oněch dvou definic Weilova párování se opírá o Zobecněnou Weilovu reciprocitu, která je formulována pomocí lokálního symbolu a je jí věnována samostatná kapitola. Text vychází z dvou článků o eliptických křivkách z roků 1988 a 1990 od L. Charlapa, D. Robbinse a R. Coleyho, přičemž je odstraněna nepřesnost, které se při formulaci alternativní definice dopustili. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Racionální body na eliptických křivkách
Raclavský, Marek ; Stanovský, David (vedoucí práce) ; Šťovíček, Jan (oponent)
Práce se zabývá racionálními body na eliptických křivkách. Z Mordellovy věty víme, že grupa racionálních bodů na eliptické křivce je konečně generovaná. Nejdříve zkoumáme torzní část, která je popsána Nagell-Lutzovou větou, a poté přejdeme k volné části, pro jejíž popis zavádíme pojem ranku eliptické křivky. Práce je tvořena řešenými problémy a shrnutím potřebného teoretického základu. Najdeme body konečného řádu na daných křivkách a spočteme jejich rank. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
host ::
RSS.