|
|
Serre's conjecture on projective modules over polynomial rings
Young, Edward ; Shaul, Liran (vedoucí práce) ; Bird, Isaac (oponent)
This is an expository paper on the Quillen-Suslin Theorem, formerly known as Serre's Conjecture. A self-contained proof of this theorem is presented, followed by a discussion of the related Bass-Quillen Conjecture. The first chapter establishes the necessary theory, building on undergraduate algebra with the essentials of free, projective, and flat modules. The second chapter presents a complete proof of the theorem, dealing with regular rings, stably-free modules, and the related calculus of unimodular rows. The third and final chapter lists partial results surrounding the as yet unresolved Bass-Quillen Conjecture, offering brief explanations and suggestions for further reading. 1
|
|
|
Elliptic Curves and Diophantine Equations
Klepáč, Adam ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Shaul, Liran (oponent)
Pro danou rovnici f(x, y) = 0, kde f je polynom dvou proměnných s racionálními koeficienty a stupně nižšího nebo rovného třem, budeme studovat vlastnosti množiny jejích racionálních řešení. Ukážeme, že je-li f ireducibilní stupně tři, pak příslušná kubická křivka je biracionálně ekvivalentní speciální kubické křivce, běžně nazývané eliptická. Dále definujeme grupovou strukturu na množině všech racionálních bodů eliptické křivky a na konec dokážeme Nagell-Lutzové větu, která dí, že všechny racionální body konečného řádu v takto definované grupě mají celočíselné souřadnice. 1
|
|
|
The classical McKay correspondence
Menčík, Matouš ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Shaul, Liran (oponent)
McKayova korespondence je zajímavé spojení mezi mnoha oblastmi matematiky. Spo- jujícím prvkem McKayovy korespondence je speciální třída grafů zvaných Dynkinovy diagramy. V této práci se budeme věnovat klasické McKayově korespondenci, což je zajímavé spojení mezi konečnými podgrupami SL(2,C) a Dynkinovými diagramy bez ori- entovaných hran. Navíc existují dva způsoby, jak získat Dynkinovy diagramy z těchto grup. V první kapitole provedeme klasifikaci konečných podgrup i pro Dynkinových dia- gramů. Ve druhé použijeme nástroje teorie reprezentací ke konstrukci příslušného grafu z ireducibilních reprezentací grupy. Ve třetí části necháme grupu působit na dvourozměrný komplexní vektorový prostor. Vyfaktorizováním této akce získáme algebraickou varietu s jedním singulárním bodem a v této singularitě najdeme Dynkinův diagram. 1
|
|
|
Classes of modules arising in algebraic geometry
Slávik, Alexander ; Trlifaj, Jan (vedoucí práce) ; Iacob, Alina (oponent) ; Shaul, Liran (oponent)
Tato práce shrnuje autorovy výsledky v teorii reprezentací okruhů a schémat, získané s několika spolupracovníky. Nejprve pro kvazikompaktní semise- parované schéma X dokazujeme, že derivovaná kategorie velmi plochých kvaziko- herentních svazků je ekvivalentní derivované kategorii plochých kvazikoherentních svazků a pokud je X afinní, je toto dále ekvivalentní homotopické kategorii pro- jektivních modulů. Dále ukazujeme, že nad komutativním Noetherovským okru- hem R je každý spočetně generovaný plochý modul je celkem plochý, tj. direktní sčítanec transfinitní extenze lokalizací R ve spočetných multiplikativních množi- nách. Posléze zkoumáme vztah geometrické a kategoriální čistoty v kategoriích svazků; charakterizujeme nerozložitelné geometricky čistě-injektivní svazky v ka- tegoriích kvazikoherentních i všech svazků. Zcela popisujeme Zieglerovo spektrum i jeho geometrickou část pro kategorii kvazikoherentních svazků na projektivní přímce nad tělesem. Posledním výsledkem je ekvivalence následujících tvrzení pro kvazikompaktní kvaziseparované schéma X: (1) kategorie QCoh(X) všech kvazi- koherentních svazků na X má plochý generátor; (2) pro každý injektivní objekt E ∈ QCoh(X) je interní Hom funktor do E je exaktní; (3) pro nějaký injektivní kogenerátor E ∈ QCoh(X) je interní Hom funktor do E je...
|
host ::
RSS.