|
|
Collections of compact sets in descriptive set theory
Vlasák, Václav ; Zelený, Miroslav (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent) ; Tišer, Jaroslav (oponent)
1 Název práce: Systémy kompaktních množin v deskriptivní teorii Autor: Václav Vlasák Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí doktorské práce: Doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D. Autorova e-mailová adresa: vlasakmm@volny.cz Abstract: Tato práce se skládá ze tří článků. V kapitole 2 se zabýváme souvislostmi mezi složitostí dané funkce f z polského prostoru X do polského prostoru Y a složitostí množiny C(f) = {K ∈ K(X); f K je spojitá}, kde symbol K(X) označuje prostor všech kompaktních podmnožin prostoru X opatřený Vietorisovou topologii. Dokážeme, že jestliže C(f) je ana- lytická, pak f je borelovská. Za předpokladu ∆1 2-determinovanosti ukážeme, že f je borelovská právě tehdy když C(f) je koanalytická. Předkládáme též podobné výsledky pro projektivní třídy. V kapitole 3 pokračujeme ve zkoumání systému C(f) a taktéž studujeme re- strikci tohoto systému na konvergentní posloupnosti(C(f)). Ukážeme, že systém C(f) je borelovský právě tehdy když f je borelovská. Předkládáme též podobné výsledky pro projektivní třídy. V kapitole 4 pojednáváme o HN -množinách, které tvoří důležitou podtřídu třídy množin jednoznačnosti pro trigonometrické řady. Velikost těchto tříd je zk- oumána pomocí systému měr...
|
|
|
Nové míry slabé nekompaktnosti
Bendová, Hana ; Kalenda, Ondřej (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent)
Tato práce se zabývá mírami slabé nekompaktnosti, tj. kvantitami, které růz- nými způsoby měří slabou nekompaktnost omezených podmnožin Banachových prostorů. Kromě některých známých měr slabé nekompaktnosti zavedeme nové míry, které jsou v jistém smyslu přirozenější, a následně ukážeme, jaké jsou mezi nimi vztahy. Dokážeme mimo jiné kvantitativní verze Eberlein-Grothendieckovy, Eberlein-Šmulianovy a Jamesovy věty. Dále se zabýváme mírami slabé nekom- paktnosti jednotkové koule a mírami slabé nekompaktnosti množin v Banacho- vých prostorech s w∗ -andělskou duální jednotkovou koulí. Ukážeme, že v těchto případech některé z definovaných kvantit splývají. Nakonec se zaměříme na to, jak se definované míry slabé nekompaktnosti chovají při přechodu ke konvexnímu a absolutně konvexnímu obalu. Dokážeme kvantitativní verzi Krejnovy věty a uká- žeme též, že v Banachových prostorech s w∗ -andělskou duální jednotkovou koulí se většina kvantit při přechodu ke konvexnímu a absolutně konvexnímu obalu nezmění.
|
|
|
Descriptive and topological aspects of Banach space theory
Kurka, Ondřej ; Holický, Petr (vedoucí práce) ; Fabian, Marián (oponent) ; Hájek, Petr (oponent)
Práce je složena ze tří autorových článků. V prvním článku je ukázáno, že množiny fréchetovské subdiferencovatelnosti lipschitzovských funkcí na Banachově prostoru X jsou borelovské právě tehdy, když X je reflexivní. Tím je zodpovězena otázka L. Zajíčka. V druhém článku je vyřešen problém, který položili G. Debs, G. Godefroy a J. Saint Raymond. Na každém sepa- rabilním nereflexivním Banachově prostoru jsou zkonstruovány ekvivalentní striktně konvexní normy s množinami normy nabývajících funkcionálů libo- volně vysoké borelovské třídy. V posledním článku je studována binormalita, jistá oddělovací vlastnost normové a slabé topologie na Banachově prostoru. Je zobecněn výsledek P. Holického. Je ukázáno, že každý Banachův prostor patřící do nějaké P-třídy je binormální. Je rovnež ukázáno, že asplun- dovost Banachova prostoru je ekvivalentní příbuzné oddělovací vlastnosti jeho duálního prostoru. 1
|
|
|
Radon-Nikodýmovy kompaktní prostory
Cepák, Jiří ; Holický, Petr (oponent) ; Spurný, Jiří (vedoucí práce)
V předložené práci studujeme Radon-Nikodýmovy kmpaktní prostory (krátce RN kompaty), jejich topologické charakteristiky a vlastnosti, a to zejména na ty, které souvisí s problémem spojitého obrazu RN kompaktu. První kapitola obsahuje pomocné výsledky. Ve druhé kapitole dokážeme osm charakterizací RN kompaktů a uvedeme několik příkladů. Ve třetí kapitole zavedeme tři zobecnění RN kompaktů a uvedeme několik příkladů. Ve třetí kapitole zavedeme tři zobecnění RN kompaktů, které jsou stabilní na spojité obrazy a dokážeme, že jde o ekvivalentní pojmy. V poslední kapitole uvedeme částečná pozitivní řešení problému spojitého obrazu.
|
|
| |
|
| |
|
|
Separabilní redukce ve funkcionální analýze
Cúth, Marek ; Holický, Petr (oponent) ; Kalenda, Ondřej (vedoucí práce)
V předložené práci zkoumáme, zda se některé vlastnosti množin a funkcí dají separabilně redukovat. To jest, zda platí, že množina (funkce) má danou vlastnost právě tehdy, když ji má ve speciálním separabilním podprostoru, závislém na této množin (funkci). Zabýváme se vlastnostmi množin "býti hustá, řídká, první kategorie, reziduální a pórovitá" a vlastnostmi funkcí "býti spojitá, polospojitá a fréchetovsky diferencovatelná". Jednotlivé výsledky je možné díky vhodně zvolené metodě generování podprostorů kombinovat, a tak dostáváme i separabilní redukce vlastností funkcí typu "funkce je spojitá na husté podmnožin", "funkce je fréchetovsky diferencovatelná na reziduální podmnožin", atd. Nakonec ukazujeme některé aplikace, které rozšiřují platnost tvrzení dokázaných Zajíčkem, Lindenstraussema Preissem.
|
|
| |
|
|
Deskriptivní vlastnosti množin v Banachových prostorech
Kurka, Ondřej ; Zajíček, Luděk (oponent) ; Holický, Petr (vedoucí práce)
Podstatná část práce je věnována studiu množin fréchetovské subdiferencovatelnosti z hlediska deskritpnivní teorie množin. Jsou podána důkazy již známých výsledků L. Zajíčka, P. Holického, M. Laczkoviche a M. Šmídka. Novým výsledkem je, že na každém nereflexivním Banachově prostoru existuje lipschitzovská funkce s neborelovskou množinou fréchetovské subdiferencovatelnosti. Jsou také zkoumány borelovské třídy množim fréchetovské subdiferencovatelnosti spojitých funkcí na reflexních prostorech. Dále jsou zkoumány některé množiny posloupností v Banachových prostorech. Je předveden modifikovaný důkaz věty R. kaufmana, která říká, že každý nereflexivní Banachův prostor lze přenormovat tak, aby množina funkcionálů nabývajících normy nebyla borelovská. Je dokázána charakterizace Banachových prostorů, které nejsou kvazireflexivní.
|
|
| |
host ::
RSS.