|
| |
|
|
Periodické relace S. Bochnera
Oliva, Filip ; Souček, Vladimír (vedoucí práce) ; Lávička, Roman (oponent)
Bochnerovy periodické relace popisují chování Fourierovy transformace na izotypic- kých komponentách akce speciální ortogonální Lieovy grupy SOm na Schwartzovském prostoru. Fourierovu transformaci si můžeme vyjádřit jako vhodný element dvojnásob- ného nakrytí ˜︃SL2 speciální Lieovy grupy SL2. To vše je možné díky větě o dualitě R. Howea, která nám popisuje, jak se rozkládá Schwartzovský prostor na ˜︃SL2 × SOm- invariantní izotypické komponenty. 1
|
|
|
Howe duality and invariant differential equations
Beďatš, Daniel ; Lávička, Roman (vedoucí práce) ; Souček, Vladimír (oponent)
Separácia premenných pre polynómy so skalárnymi koeficientmi v k premenných di- menzie n vyžaduje, aby sa každý taký polynóm rozložil na kombináciu invariantných a harmonických polynómov. Je známe, že sepáracia premenných je jednoznačná v po- lostabilnom prípade n ≥ 2k − 1. V tejto práci skúmame problém v nestabilnom prípade n < 2k − 1. Systematicky popíšeme nejednoznačnosti separácie premenných pre hodnoty n = 2k −2 a n = 2k −3 pomocou zovšeobecnených Verma modulov. Ukážeme, že podmi- enka n ≥ 2k − 1 je nielen postačujúca, ale aj nutná pre jednoznačnosť separácie premen- ných. Problém ilustrujeme na viacerých detailne rozpracovaných nízko-dimenzionálnych príkladoch. Ako teoretický predpoklad k tematike odprezentujeme zhrnutie teórie klasic- kých Howeových duálnych párov a klasifikáciu ireducibilných reprezentácii komplexnej ortogonálnej grupy. 1
|
|
|
Ortogonální polynomy v hyperkomplexní analýze
Malý, Marek ; Lávička, Roman (vedoucí práce) ; Salač, Tomáš (oponent)
V této práci je popsána konstrukce ortogonální báze polynomiálních řešení Laplaceova a Diracova operátoru nad reálným Euklidovým prostorem Rm . Důležitá vlastnost je ro- tační invariance těchto operátorů. Uvedená konstrukce vytváří tzv. Gelfand-Tsetlinovu bázi, která je ortogonální vůči každému rotačně invariantnímu skalárnímu součinu, např. vůči L2 -skalárnímu součinu na jednotkové kouli. Pro tuto bázi spočteme normu jejich prvků a aplikujeme výsledky v dimenzi 3. 1
|
|
|
Spingrupy v nízkých dimenzích
Knesel, Jakub ; Šmíd, Dalibor (vedoucí práce) ; Lávička, Roman (oponent)
Cílem této práce je explicitně popsat konstrukce maticových reprezentací Lieových grup Spin(n) = Spin(0, n, R) v dimenzích jedna až šest. Poté, co v první kapitole zkon- struujeme 2-1 nakrytí grupy SO(3) pomocí grupy SU(2), definujeme Cliffordovu algebru, s jejíž pomocí zkonstruujeme grupu Spin(n) obecně. Popíšeme také, jakým způsobem grupa Spin(n) poskytuje 2-1 nakrytí grupy SO(n). Vybudovanou teorii následně využi- jeme k nalezení maticových reprezentací Cliffordovy algebry a spingrupy Spin(n) v kon- krétních nízkých dimenzích. Kromě Cliffordovy algebry budou všechny argumenty v této práci využívat pouze znalosti z lineární algebry a elementární teorie grup. 1
|
|
| |
|
| |
|
|
The generalized Dolbeault complexes in Clifford analysis
Salač, Tomáš ; Souček, Vladimír (vedoucí práce) ; Lávička, Roman (oponent) ; Slovák, Jan (oponent)
Hlavním tématem této disertační práce jsou konkrétní posloup- nosti invariantních diferenciálních operátorů prvního a druhého řádu, ktere žijí na plochém modelu jednoho typu parabolické geometrie. V práci je ukazáno, že tyto posloupnosti tvoří resolventu jádra prvního operátoru a že přirozeným způsobem indukují resolventy přeurčených systemů parcialních diferenciálních rovnic prvního řadu s konstantními koefiecienty. Tyto systémy jsou v literatuře známy jako k-Diracovy operátory. Takto dostáváme ucelený popis resolvent těchto systémů. V práci je navíc uveden vzorec pro operátory druhého řádu z těchto resolvent. 1
|
|
| |
|
|
Canonical bases for solutions of invariant differential equations
Jančík, Michael ; Lávička, Roman (vedoucí práce) ; Souček, Vladimír (oponent)
Sférické harmoniky a sférické monogeniky sú po rade polynomiálne riešenia Laplacovej a Diracovej diferenciálnej rovnice. Tieto riešenia v R3 tvoria ireducibilnú reprezentáciu Lieovej algebry sl(2, C). Hlavný cieľ je zostrojiť ortogonálnú bázu takýchto priestorov. Bežné zaužívane metódy ako Gram-Schmidtova ortogonalizácia je zbytočne kompliko- vaná a zložitá. Ukážeme si ako zostrojiť ortogonálnu bázu jednoduchšie pomocou re- prezentačnej teórie. K popisu rotácii v R3 a R4 použijeme kvaternióny. Nakoniec takto skonštruovanú bázu vyjadríme vo sférických súradniciach. 1
|
host ::
RSS.