Original title: Edwardsovy křivky a eliptická funkční tělesa
Translated title: Edwards curves and elliptic function fields
Authors: Beran, Adam ; Drápal, Aleš (advisor) ; Žemlička, Jan (referee)
Document type: Master’s theses
Year: 2023
Language: eng
Abstract: [eng] [cze]
In this thesis, we study twisted Edwards curves using the theory of algebraic function fields. After summarizing the basic theory, we focus on the structure of the function field for curves that are given by an equation of the form x2 2 = f(x1), where f is a monic polynomial of degree four. We show that twisted Edwards curves correspond to a special case when f(x1) = g(x2 1), where g is a quadratic polynomial with two distinct nonzero roots. We describe the basic properties of twisted Edwards curves, with special attention given to possible places at infinity. Next, we derive formulas for the point addition, which is achieved by using the relation between points on the curve, places of degree one and elements of the Picard group. Furthermore, we summarize how the point addition can be interpreted geometrically, and outline several alternative coordinate systems based on projective coordinates. Finally, we present two examples of twisted Edwards curves that are nowadays being used in cryptographic applications. 1 V této práci se věnujeme studiu přechýlených Edwardsových křivek prostřed- nictvím teorie algebraických funkčních těles. Po shrnutí potřebných teoretických základů se zaměříme na popis struktury funkčního tělesa pro křivky, které jsou zadané rovnicí tvaru x2 2 = f(x1), kde f je monický polynom stupně čtyři. Uká- žeme, že přechýlené Edwardsovy křivky odpovídají speciálnímu případu, kdy platí f(x1) = g(x2 1), kde g je kvadratický polynom mající dva různé nenulové kořeny. Popíšeme základní vlastnosti přechýlených Edwardsových křivek, zvláštní pozor- nost věnujeme možným místům v nekonečnu. Následně odvodíme vzorečky pro sčítání bodů na křivce, čehož dosáhneme použitím vztahu mezi body na křivce, místy stupně jedna a prvky Picardovy grupy. Dále shrneme, jak lze sčítání bodů interpretovat geometricky, a stručně popíšeme několik alternativních souřadni- cových systémů založených na projektivních souřadnicích. Nakonec představíme dva příklady přechýlených Edwardsových křivek, jež jsou v současnosti využívané v kryptografických aplikacích. 1
Keywords: Edwards curve|twisted Edwards curve|elliptic function field|divisor|principal divisor|point addition|Picard group; Edwardsova křivka|přechýlená Edwardsova křivka|eliptické funkční těleso|divisor|hlavní divisor|sčítání bodů|Picardova grupa

Institution: Charles University Faculties (theses) (web)
Document availability information: Available in the Charles University Digital Repository.
Original record: http://hdl.handle.net/20.500.11956/185105

Permalink: http://www.nusl.cz/ntk/nusl-535876


The record appears in these collections:
Universities and colleges > Public universities > Charles University > Charles University Faculties (theses)
Academic theses (ETDs) > Master’s theses