Original title:
Metrické a analytické metody
Translated title:
Metric and analytic methods
Authors:
Kaluža, Vojtěch ; Tancer, Martin (advisor) ; Kleiner, Bruce (referee) ; Fulek, Radoslav (referee) Document type: Doctoral theses
Year:
2018
Language:
eng Abstract:
[eng][cze] The thesis deals with two separate problems. In the first part we show that the regular n×n grid of points in Z2 cannot be recovered from an arbitrary n2 -element subset of Z2 using only mappings with prescribed maximum stretch independent of n. This provides a negative answer to a question of Uriel Feige from 2002. The present approach builds on the work of Burago and Kleiner and McMullen from 1998 on bilipschitz non-realisable densities and bilipschitz non-equivalence of separated nets in the plane. We describe a procedure that takes a positive, measurable function and encodes it into a sequence of discrete sets. Then we show that applying this procedure to a typical positive, continuous function on the unit square yields a counter-example to Feige's question. Along the way we provide a new proof of a result on bilipschitz decomposition for Lipschitz regular mappings, which was originally proved by Bonk and Kleiner in 2002. In the second part we provide a constructive proof for the strong Hanani- Tutte theorem on the projective plane. In contrast to the previous proof by Pelsmajer, Schaefer and Stasi from 2009, the presented approach does not rely on characterisation of embeddability into the projective plane via forbidden minors. 1Předložená práce se zabývá dvěma nezávislými problémy. V první části uka- zujeme, že nelze libovolnou n2 -prvkovou množinu zobrazit prostě na pravidelnou mřížku n × n bodů v Z2 pouze s použitím zobrazení, která mohou zvětšovat vzdálenosti faktorem omezeným shora nezávisle na n. Tento výsledek dává zá- pornou odpověď na otázku Uriela Feigeho z roku 2002. Náš přístup vychází z práce Buraga a Kleinera a McMullena o bilipschitzovsky nerealizovatelných hus- totách a bilipschitzovsky neekvivalentních separovaných sítích z roku 1998. Popí- šeme postup, který zakóduje danou kladnou, měřitelnou funkci do posloupnosti diskrétních množin. Pak ukážeme, že pokud je tento postup aplikován na typic- kou spojitou funkci definovanou na jednotkovém čtverci, je získaná posloupnost diskrétních množin protipříkladem na Feigeho otázku. Dále také podáváme nový důkaz výsledku Bonka a Kleinera z roku 2002 o bilipschitzovské dekompozici lipschitzovsky regulárních zobrazení. Ve druhé části představíme konstruktivní důkaz silné Hanani-Tutteho věty pro projektivní rovinu. Oproti předchozímu důkazu Pelsmajera, Schaefera a Stasi z roku 2009 náš postup nepoužívá charakterizaci vnořitelnosti do projektivní roviny pomocí zakázaných minorů. 1
Keywords:
bilipschitz; Feige; grid points; Hanani-Tutte; Lipschitz; non-realisable function; projective plane; regular mapping; bilipschitzovské; Feige; Hanani-Tutte; lipschitzovské; mřížové body; nerealizovatelná funkce; projektivní rovina; regulární zobrazení
Institution: Charles University Faculties (theses)
(web)
Document availability information: Available in the Charles University Digital Repository. Original record: http://hdl.handle.net/20.500.11956/104430