Original title:
Rychlost konvergence tlumeného kmitání
Translated title:
Speed of convergence of damped oscilations
Authors:
Fara, Jakub ; Bárta, Tomáš (advisor) ; Pražák, Dalibor (referee) Document type: Bachelor's theses
Year:
2018
Language:
cze Abstract:
[cze][eng] Studujeme obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu u′′(t) + f(u′(t), t)u′(t) + |u|βu = 0, kde β je kladná konstanta a f kladná funkce. Tato rovnice fyzikálně popisuje jednorozměrné tlumené kmitání s časově proměnlivým od- porem prostředí. Převedeme studovanou rovnici na systém dvou rovnic prvního řádu. To nám umožní dokázat existenci některých pozitivně invariantních množin, pomocí čehož odvodíme chování trajektorií určitých řešení tohoto systému. Díky tomu budeme schopni udělat odhady na rychlost poklesu energie pro neoscilující řešení. Dále v mno- hých případech dokážeme určit, kdy bude řešení systému oscilovat pro libovolně velké časy, nebo naopak kdy oscilace přestanou. 1We study solutions convergence of ordinary differential second order equation u′′(t)+ f(u′(t), t)u′(t) + |u|βu = 0, where β is a positive constant and f is a positive function. Physical meaning of this equation is one-dimensional damped oscilation with time va- riable environment resistance. We convert this studied function to the system of two equations of the first order. It enables us to proof the existence of some positively in- variant sets, hence we derive trajectory behaviour of solutions of this system. Thanks to that we will be able to do speed estimates of energy decrease for non-oscillation solution. Then in many cases we will be able to establish when the system solution for each time will oscillate or on the contrary when the oscillations will stop. 1
Keywords:
damped oscillation; second order ODE; speed of convergence; ODR druhého řádu; rychlost konvergence; tlumené kmitání
Institution: Charles University Faculties (theses)
(web)
Document availability information: Available in the Charles University Digital Repository. Original record: http://hdl.handle.net/20.500.11956/101728