Original title:
Eliptické křivky nad konečnými tělesy
Translated title:
Elliptic curves over finite fields
Authors:
Beran, Adam ; Šťovíček, Jan (advisor) ; Žemlička, Jan (referee) Document type: Bachelor's theses
Year:
2018
Language:
cze Abstract:
[cze][eng] V této práci se zabýváme teorií eliptických křivek, zvláštní pozornost věnujeme eliptickým křivkám nad konečnými tělesy. Představíme základní teorii, zohled- níme přitom několik technických aspektů (singularita křivky, vliv charakteristiky tělesa na rovnici křivky). Algebraicky odvodíme a zformulujeme grupový zákon neboli definici operace sčítání na množině bodů na eliptické křivce. Dále zpracu- jeme důkaz známého faktu, že množina bodů na eliptické křivce spolu s operací sčítání tvoří komutativní grupu. K důkazu přistoupíme elementárně, některé vý- počty z důvodu jejich náročnosti provedeme v počítačovém programu Mathema- tica. Nakonec studujeme endomorfismy eliptických křivek nad konečnými tělesy (homomorfismy na množině bodů eliptické křivky, jež jsou zadané racionálními funkcemi). Pomocí získaných výsledků dokážeme Hasseho větu, která poskytuje odhad na řád grupy bodů na eliptické křivce nad konečným tělesem. 1In this thesis, we study the theory of elliptic curves, with the main focus on elliptic curves over finite fields. We present basic theory, taking several technical aspects into consideration (singularity of the curve, effect of field characteristic on the form of the equation of elliptic curve). We algebraically deduce and formulate the group law, that is the definition of addition on a set of points on elliptic curve). We prove a known result saying that the set of points on elliptic curve under addition forms a group. We present an elementary proof, some of the calculations will be carried out in computer program Mathematica due to their complexity. Finally, we study endomorphisms of elliptic curves over finite fields (homomorphisms on the set of points on elliptic curve that are defined by rational functions). Using obtained results, we prove the Hasse's theorem, which provides an estimate of the order of the group of points on elliptic curve over finite field. 1
Keywords:
elliptic curves; group law; Hasse's theorem; eliptické křivky; grupový zákon; Hasseho věta
Institution: Charles University Faculties (theses)
(web)
Document availability information: Available in the Charles University Digital Repository. Original record: http://hdl.handle.net/20.500.11956/101663