Original title: Vlastnosti slabě diferencovatelných funkcí a zobrazení
Translated title: Properties of weakly differentiable functions and mappings
Authors: Kleprlík, Luděk ; Hencl, Stanislav (advisor) ; Kružík, Martin (referee) ; Onninen, Jani (referee)
Document type: Doctoral theses
Year: 2014
Language: eng
Abstract: [eng] [cze]
We study the optimal conditions on a homeomorphism f : Ω → Rn which guarantee that the composition u◦f is weakly differentiable and its weak derivative belongs to the some function space. We show that if f has finite distortion and q-distortion Kq = |Df|q /Jf is integrable enough, then the composition operator Tf (u) = u ◦ f maps functions from W1,q loc into space W1,p loc and the well-known chain rule holds. To prove it we characterize when the inverse mapping f−1 maps sets of measure zero onto sets of measure zero (satisfies the Luzin (N−1 ) con- dition). We also fully characterize conditions for Sobolev-Lorentz space WLn,q for arbitrary q and for Sobolev Orlicz space WLq log L for q ≥ n and α > 0 or 1 < q ≤ n and α < 0. We find a necessary condition on f for Sobolev rearrangement invariant function space WX close to WLq , i.e. X has q-scaling property. 1 V předložené práci studujeme optimální podmínky na homeomorfis- mus f : Ω → Rn , která nám zaručí, že složení u ◦ f je slabě diferenco- vatelné a slabá derivace patří do nějakého vhodného prostoru funkcí. Ukážeme, má-li f konečnou distorzi a q-distorze Kq = |Df|q /Jf je dostatečně integrovatelná, potom operátor složení Tf (u) = u ◦ f zo- brazuje funkce z W1,q loc do prostoru W1,p loc a navíc platí známé řetízkové pravidlo. Pro důkaz tohoto tvrzení budeme muset nejdříve zjistit, kdy inverzní zobrazení f−1 zobrazuje množiny nulové míry na množiny nulové míry (tj. splňuje Luzinovu (N−1 ) podmínku). Ukážeme op- timální podmínky pro Sobolev-Lorentzův prostor WLn,q a pro Sobolev Orliczův prostor WLq log L, kde q ≥ n a α > 0 nebo 1 < q ≤ n a α < 0. Nalezneme také nutnou podmínku na homeomorfismus f pro funkce s derivací v prostoru funkcí invariantnímu vůči nerostoucímu přerovnání X blízko k Lq , t.j. X je q-škálující. 1
Keywords: $(N^{−1})$ Luzin condition; Composition operator; Homeomorphism of finite distortion; Lebesgue's density theorem; Lorentz spaces; Orlicz spaces; Rearrangement invariant spaces; Sobolev spaces; $(N^{−1})% Luzinova podmínka; Homeomorfismus s konečnou distorzí; Lebesgueovy body hustoty; Lorentzovy prostory; Operátor složení; Orliczovy prostory; Prostory invariantní k nerostoucímu přerovnání; Sobolevovy prostory

Institution: Charles University Faculties (theses) (web)
Document availability information: Available in the Charles University Digital Repository.
Original record: http://hdl.handle.net/20.500.11956/72991

Permalink: http://www.nusl.cz/ntk/nusl-342351


The record appears in these collections:
Universities and colleges > Public universities > Charles University > Charles University Faculties (theses)
Academic theses (ETDs) > Doctoral theses