|
|
Brouwerova věta o pevném bodě (přístupy a historie)
Vítek, Tomáš ; Hušek, Miroslav (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Cílem práce bylo uvézt různé přístupy k důkazu Brouwerovy věty o pevném bodě a vyhnout se důkazům založeným na teorii homotopie, stupně zobrazení nebo jakékoliv netriviální algebraické topologii. Důkazy byly zvoleny tak, aby pro jejich porozumění dostačovaly pouze základní znalosti kombinatoriky a ma- tematické analýzy a čtenář se u nich dozvěděl i o jiných základních topologických větách. V práci nejprve kombinatoricky dokážeme Borsukovu-Ulamovu větu, ze které už Brouwerova věta jednoduše plyne. Následně použijeme základy matematické analýzy k důkazu věty známé jako The hairy ball problem, která také přímo implikuje Brouwerovu větu. Nakonec si ukážeme netradiční aplikaci Brouwerovy věty k důkazu základní věty algebry. 1
|
|
|
H-compactifications of topological spaces
Tížková, Tereza ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Hušek, Miroslav (oponent)
H-kompaktifikace tvoří důležitý typ kompaktifikací se speciální vlastností takovou, že všechny automorfismy daného topologického prostoru mohou být na takové kompaktifi- kace spojitě rozšířeny. Van Douwen dokázal, že existují pouze tři H-kompaktifikace prostoru reálných čísel a pouze jedna H-kompaktifikace racionálních. Vejnar dokázal, že existují právě dvě H- kompaktifikace euklidovských prostorů vyšších dimenzí. V úvodu představíme koncept H-kompaktifikace, přičemž zvláštní důraz je kladen na Alexandrovu a Čech-Stoneovu kompaktifikaci. Shrneme existující poznatky o H-kompaktifikacích několika známých pro- storů. Hlavním výsledkem třetí kapitoly je důkaz, že existuje jediná H-kompaktifikace mno- žiny všech racionálních posloupností, a tou je právě Čech-Stoneova kompaktifikace. Kapi- tola dále popisuje vlastnosti množiny všech racionálních posloupností a jejích obojetných podmnožin. Některé z těchto vlastností - především silná nul-dimenzionalita a silná ho- mogenita - jsou pak využity k dosažení zmíněného výsledku. V poslední kapitole nás zajímá množina všech H-kompaktifikací Hilbertova prostoru l2 a navrhujeme tři způsoby, jak na tento problém nahlížet. Ukazujeme, že za určitých pod- mínek je jakákoliv H-kompaktifikace daného prostoru homeomorfní jeho Čech-Stoneově kompaktifikaci. Dále se díváme na...
|
|
|
Rozšiřování funkcí z podprostorů metrických prostorů
Hevessy, Michal ; Hušek, Miroslav (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Rozšiřování funkcí je v matematice klasická úloha. V této práci se budeme věnovat rozšiřování reálných funkcí, které jsou definované na metrických prostorech. V první ka- pitole zadefinujeme rozšíření funkcí pro metrické prostory. Ve druhé kapitole uvedeme známou metodu rozšíření speciální třídy stejnoměrně spojitých funkcí a zobecníme ji pro funkce spojité. Ve třetí kapitole prodiskutujeme metodu rozšiřování spojitých funkcí navr- ženou Whitneym. V poslední kapitole se pak budeme věnovat charakterizaci stejnoměrně spojitě rozšiřitelných funkcí, i v této kapitole zobecníme některá známá tvrzení. 1
|
|
|
H-compactifications of topological spaces
Tížková, Tereza ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Hušek, Miroslav (oponent)
H-kompaktifikace tvoří důležitý typ kompaktifikací se speciální vlastností takovou, že všechny automorfismy daného topologického prostoru mohou být na takové kompaktifi- kace spojitě rozšířeny. Van Douwen dokázal, že existují pouze tři H-kompaktifikace prostoru reálných čísel a pouze jedna H-kompaktifikace racionálních. Vejnar dokázal, že existují právě dvě H- kompaktifikace euklidovských prostorů vyšších dimenzí. Výsledek, který přinášíme v kapitole 2, říká, že existuje pouze jediná H-kompaktifikace množiny všech racionálních posloupností, a tou je Stone-Čechova kompaktifikace. Pro důkaz používáme silnou nul-dimenzionalitu, silnou homogenitu a další vlastnosti množiny všech racionálních posloupností a jejích obojetných podmnožin. Ve třetí kapitole si klademe otázku o množině všech H-kompaktifikací Hilbertova prostoru l2 a navrhujeme některé způsoby, jak tento problém řešit, např. charakterizace Stone-Čechovy kompaktifikace nebo nástroje používané k popisu H-kompaktifikací reál- ného prostoru dimenze 2. Nakonec se podíváme na analýzu množiny všech H-kompaktifikací prostoru pomocí kategorie teoretického přístupu a studujeme vlastnosti kategorií H-kompaktifikací a funk- torů v těchto kategoriích. 1
|
|
|
Homogeneity of topological structures
Vejnar, Benjamin ; Hušek, Miroslav (vedoucí práce) ; Pyrih, Pavel (oponent)
In the present work we study those compacti cations such that every autohomeomorphism of the base space can be continuously extended over the compacti cation. These are called H-compacti cations. We characterize them by several equivalent conditions and we prove that H-compacti cations of a given space form a complete upper semilattice which is a complete lattice when the given space is supposed to be locally compact. Next, we describe all H-compacti cations of discrete spaces as well as of countable locally compact spaces. It is shown that the only H-compacti cations of Euclidean spaces of dimension at least two are one-point compacti cation and the Cech-Stone compacti cation. Further we get that there are exactly 11 H-compacti cations of a countable sum of Euclidean spaces of dimension at least two and that there are exactly 26 H-compacti cations of a countable sum of real lines. These are all described and a Hasse diagram of a lattice they form is given.
|
|
| |
|
| |
|
|
Variations of Banach fix point theorem
Pošta, Petr ; Hušek, Miroslav (vedoucí práce) ; Lukeš, Jaroslav (oponent)
\azev prace: Yariaee Banachovy vety o pevnem bode Autor: Potr Posta Katecha (ustav): Katedra malematieke analy/y Vedouci bakalarske pn'uo: prof. R.NDr. Miroslav Husek. DrSr. e-mail vedouciho: nihnsek'fika.rlin.mff.cuni.c/ Abstrakt: V predlozene pra.ci studujcmo rozlicno dusledky a /ohccnfjiii Bana- chovy vrty o pcvnrni hodr. V prvni Oasli sliulujciin' diislcdky klasickrlio Bana- cliDva prhiripu kuiitrakcc: posloiipnosti kunlraktivnicli zo)j]'ax,(ini, ru/.iie variact1 podnn'iiky koiit.rakt.iviiost.i xobra/cni. pffkladv pou/.iti v Ranacliovych prostorodi. diskrrl.ni prinrip koiilrakcc (Filriilxn'^uva a Jachyinskrho veiv.r) a tit.a/ku ckviva.- Icncc diskrutniYh vet .s Baiiachovou \vtou. V druhr casli jsou nastinriiy moxnr prfstupy k zobrcuc'-iii liaiiachovy vely: jako ph'klady jsuu dokazany ruzne vrty o pevuriu liodr (autory jsou Edrlstcin, Bailey. Civir, Kirk a dalsf), ktr.n'1 xoheciiuji Banachovii vOlu. Kh'cova sluva: Bauacliova vela u kunt.ra.kci. konl.iakcc, prvny bod, /obc'dinnr kon- Title: Variations of Bauarh iix point tluMirrin Author: Potr I'ost.a Do]>artim'iit.: Dopart.mont of iMa.lhonia.tica.l Analysis Suporvisor: prof. RNDr. Miroslav Ilvisck. DrSc. Su]>ervisor's c-niail addrcsw: Abstract: In the prosrnt \\ork wo study various consequences and generalizations of Bana.ch tixc-d point tlieor(nii. In...
|
|
|
Rozšiřování zobrazení do Banachových prostorů
Novotný, Vojtěch ; Hušek, Miroslav (vedoucí práce) ; Pyrih, Pavel (oponent)
Diplomová práce se zabývá rozšiřováním spojitých a stejnoměrně spojitých zobrazení. Představuje přístupy od Lebesguea a Tietzeho v metrických prostorech přes Urysohnovu větu na normálních topologických prostorech, Katětovovu práci o stejnoměrně spojitých funkcích až po Dugundjiho tvrzení a vztah mezi spojitým rozšiřováním pseudometrik a zobrazení. Spojuje články devatenácti matematiků dvacátého století, mnoho z nich uvádí do obecnější podoby a ukazuje, že mohly být dokázány dříve nebo jiným způsobem.
|
|
|
Metrické prostory hölderovských funkcí
Novotný, Vojtěch ; Hušek, Miroslav (vedoucí práce) ; Spurný, Jiří (oponent)
Nazcv prace: Metricke prostory hoklerovskych funkci Autor: Vojtech .\ovotny Katcdra: Kiitcrlra matenmticke analyzy Vedouci bakalafske pracc: Prof. liNDr. Miruslav lln.sek, DrSc. E-niail vedouciho: mhusek@karlin.mff.cuni.cz Abstrakt: Ukolem bakalafske prace je definovat prostory a-holderovskych zobrazeni s pfirozenou pseudonormou a studovat jejich vlastuosti. Nesepa- rahilitu, uplnost ci v/tahy jednotlivyoh prostoru vysetfujeme nejdfivc na realnych holdorovskycli fuukcich defiuovaiiych na [0, 1], po/xlcji na jinych omezeuych u/.avfeiiych, ...'li i otevfenych intervalech a nakonec na cole reahu'1 pfiince. V /avererne ka.pitole ziskanc vyslcdky zobecnujeine ]>ro ho'ldcrovska /obrazcni v obecnejsich nietriekyrh prostorech. Klicova slova: holdcrovske zobrazeni, ... zobrazoni. niotricky prostor Title: Metric spaces of Holder mappings Author: Vojtech .\ovotny Department: Department of Mathematical Analysis Supervisor: Prof. KA'Dr. Miroslav Ilusek, DrSc. Supervisor's e-mail address: mhusek@karlin.mff.cuni.cz Abstract: The task of the bachelor work is to define spaces of o-Holder map- pings with their natural pscudononn and to study their properties. First we investigate nonseparability. completeness and relations between particular spaces of real Holder functions defined on [0. l], later...
|
host ::
RSS.