|
| |
|
|
Mountain climbing theorem
Šmídová, Kristýna ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Vlasák, Václav (oponent)
Název práce: Mountain climbing theorem Autor: Kristýna Šmídová Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D., Katedra matema- tické analýzy Abstrakt: Předmětem této práce je tzv. Mountain climbers' problem. Práce se zabývá otázkou, kdy pro dvojici spojitých funkcí f, g : [0,1] → [0,1], spl- ňujících f(0) = g(0) = 0 a f(1) = g(1) = 1, existuje dvojice funkcí k, h se stejnými vlastnostmi taková, že f (k(x)) = g (h(x)) pro všechna x z intervalu [0,1]. Pro po částech prosté funkce je existence dokázána za pomoci vhodné grafové reprezentace a principu sudosti, pro lokálně nekonstantní funkce je existence dokázána konstrukčně za pomoci stejnoměrné konvergence. Dále je uveden příklad dvojice funkcí, pro které vyhovující dvojice funkcí neexistuje. Cílem práce je s použitím vhodných ilustrací názorně a srozumitelně vysvět- lit příslušné matematické konstrukce. Klíčová slova: spojitá funkce, mountain climber, stejnoměrná konvergence, princip sudosti
|
|
|
Topological entropy
Češík, Antonín ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Pražák, Dalibor (oponent)
V této práci studujeme topologickou entropii jakožto invariant topologických dynamických systémů. První kapitola obsahuje základní definice a příklady topologických dynamických systémů. Ve druhé kapitole zavedeme pojem to- pologické entropie na kompaktním metrickém prostoru. Budeme studovat její vlastnosti, zejména fakt, že je invariantní vůči konjugaci. Kapitola končí výpočtem topologické entropie pro příklady uvedené v první kapitole. Po- slední kapitola se zabývá zobecněním pojmu topologická entropie na nekom- paktní metrické prostory. Ve větším detailu je prostudován případ po částech afinních zobrazení na reálné přímce.
|
|
|
Jordanova věta o kružnici
Dudák, Jan ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Kurka, Ondřej (oponent)
Název práce: Jordanova věta o kružnici Autor: Jan Dudák Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D., Katedra matematické analýzy Abstrakt: Stěžejní částí této práce je důkaz Jordanovy věty o kružnici. Za tímto účelem jsou v práci nejdříve definovány potřebné pojmy (např. křivka a oblouk) a jsou ukázány jejich základní vlastnosti. Dále je dokázána Brouwerova věta o pevném bodu (v dimenzi 2) a některé její důsledky, které jsou následně využity (společně s několika dalšími dokázanými tvrzeními) v důkazu samotné Jordanovy věty o kružnici. Poslední kapitola této práce stručně informuje o možnostech, jak Jordanovu větu o kružnici zobecnit, přičemž odkazuje na vhodnou literaturu. Klíčová slova: Jordanova křivka, oblouk, rovina, komponenta souvislosti 1
|
|
|
Univerzální metrické prostory
Raška, Martin ; Hušek, Miroslav (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Předkládaná práce se zabývá vlastnostmi izometrických vnoření metrických prostorů do Urysohnova univerzálního prostoru U (P.S. Urysohn, 1927) a jeho zobecnění (M. Katětov, 1988). Zkoumání mnohých metrických vlastností prostoru U přechází na otázku rozšiřitelnosti vnoření ϕ: M → U z podprostoru M jistého prostoru P na vnoření Φ: P → U. K této otázce zde v situaci P = M ∪ {p} přistupujeme v jemnější podobě. Značí-li ϕ vnoření M → U, označme symbolem Rϕ množinu obrazů bodu p v U při všech možných izometrických rozšířeních vnoření ϕ (Rϕ nazýváme prostorem realizací). Hlavním předmětem práce je zodpovězení následující otázky: Jakých podob nabývají prostory Rϕ, prochází-li ϕ všechna vnoření prostoru M do prostoru U? Metrickou charakterizaci souboru {Rϕ|ϕ: M → U} podávají důsledek 1 a věta 3 ve II. části práce. V části III jsou předchozí výsledky užity k určení počtu tříd metricky ekvivalentních vnoření prostoru M do prostoru U. Jako důsledek obdržíme výsledek J. Melleraye (2007) o homogenitě prostoru U.
|
|
|
Problém tří jezer
Šulc, Dominik ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Cílem této práce je nalezení řešení problému tří jezer a podrobný d·kaz jeho správnosti. Problém tří jezer (Lakes of Wada) je úloha, která spočívá v sestrojení tří otevřených souvislých množin v rovině, které se neprotínají a mají společnou hranici. Ukážeme, že takové množiny existují a že kromě uvedených vlastností mohou být dokonce obloukově souvislé. 1
|
|
|
Velké systémy neporovnatelných kontinuí
Doležalová, Anna ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Kurka, Ondřej (oponent)
Cílem této práce je seznámit čtenáře se základními pojmy teorie kontinuí a s vlastnostmi některých speciálních spojitých zobrazení. Těchto znalostí se využívá pro konstrukci nekonečných systémů kontinuí, která jsou homeomorfně, otevřeně nebo monotónně neporovnatelná. Speciální pozornost je věnována systémům dendritů. Konkrétně se jedná o nespočetný systém nehomeomorfních dendritů, nespočetný systém otevřeně neporovnatelných dendritů a spočetný systém monotónně neporovnatelných lokálních dendritů. Existence nekonečného systému monotónně neporovnatelných dendritů je prozatím nevyřešenou otázkou, v práci je uveden příklad konečného systému takových dendritů libovolné konečné velikosti. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Homeomorphisms in topological structures
Vejnar, Benjamin ; Pyrih, Pavel (vedoucí práce) ; Charatonik, Włodzimierz (oponent) ; Illanes, Alejandro (oponent)
V této práci představujeme řešení několika problémů týkajících se jedno- dimenzionálních kontinuí. Podáváme induktivní popis grafů s daným číslem nesouvislosti, čímž zodpovíme otázku S. B. Nadlera. Dále předkládáme topo- logickou charakterizaci Sierpi'nského trojúhelníku. Při studiu tzv. shore množin v dendroidech a λ-dendroidech obdržíme několik pozitivních výsledků a předvede- me také několik protipříkladů. Tímto pokračujeme v nedávné práci několika autorů. Zabýváme se také pojmem 1 2 -homogenity a dokazujeme, že až na home- omorfismus existují pouze dvě 1 2 -homogenní zřetězitelná kontinua s právě dvěma koncovými body. Předvedeme také nový elegantní důkaz jednoho Waraszkiewic- zova klasického výsledku. 1
|
|
|
Souvislé kompaktifikace
Vaváčková, Martina ; Simon, Petr (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Název práce: Souvislé kompaktifikace Autor: Martina Vaváčková Katedra: Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Petr Simon, DrSc., Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Abstrakt: Tato práce se věnuje studiu souvislých kompaktifikací vybraných Ticho- novových prostorů. Předmětem zájmu jsou především maximální prvky v relaci částečného uspořádání, definované na množině všech souvislých kompaktifikací daného prostoru. Nejprve charakterizujeme maximální souvislé kompaktifikace prostorů s konečně mnoha komponentami a zmiňujeme některé, zejména zobec- něné uspořádané prostory, které nemají žádnou souvislou kompaktifikaci. Dále se zabýváme souvislými kompaktifikacemi prostoru racionálních čísel. Popisujeme konstrukci kompaktifikace tohoto prostoru analogickou ke konstrukci Čechovy- Stoneovy kompaktifikace a ukazujeme nutnou a postačující podmínku souvislosti a maximality takové kompaktifikace. Klíčová slova: souvislý prostor, kompaktní prostor, konektifikace, kompaktifikace
|
|
|
Homogeneity of topological structures
Vejnar, Benjamin ; Hušek, Miroslav (vedoucí práce) ; Pyrih, Pavel (oponent)
In the present work we study those compacti cations such that every autohomeomorphism of the base space can be continuously extended over the compacti cation. These are called H-compacti cations. We characterize them by several equivalent conditions and we prove that H-compacti cations of a given space form a complete upper semilattice which is a complete lattice when the given space is supposed to be locally compact. Next, we describe all H-compacti cations of discrete spaces as well as of countable locally compact spaces. It is shown that the only H-compacti cations of Euclidean spaces of dimension at least two are one-point compacti cation and the Cech-Stone compacti cation. Further we get that there are exactly 11 H-compacti cations of a countable sum of Euclidean spaces of dimension at least two and that there are exactly 26 H-compacti cations of a countable sum of real lines. These are all described and a Hasse diagram of a lattice they form is given.
|
host ::
RSS.