|
|
Families of connected spaces
Bartoš, Adam ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Charatonik, Włodzimierz (oponent) ; Hušek, Miroslav (oponent)
Soubory souvislých prostorů Adam Bartoš Abstrakt Zabýváme se dvěma zcela odlišnými druhy souvislých prostorů - maximálně souvislými prostory a metrizovatelnými kontinui. Topo- logický prostor je maximálně souvislý, pokud je souvislý, ale každá ostře jemnější topologie na téže základové množině už je nesouvislá. Název "Soubory souvislých prostorů" zde odkazuje ke kolekci všech souvislých topologií na dané množině. Ta je uspořádaná inkluzí a ma- ximálně souvislé topologie jsou její maximální prvky. Zkoumáme kon- strukci stromových sum topologických prostorů a jak tato konstrukce zachovává maximální souvislost. Dále charakterizujeme konečně ge- nerované maximálně souvislé prostory jako T1 2 -kompatibilní stromové sumy kopií Sierpińského prostoru. Na druhé straně nás zajímá obecná otázka, kdy k dané třídě kontinuí existuje metrizovatelný kompakt, jehož množina komponent je ekvivalentní dané třídě. (Dvě třídy jsou ekvivalentní, jestliže obsahují až na homeomorfní kopie stejné pro- story.) Zavádíme kompaktifikovatelné, polišovatelné, silně kompakti- fikovatelné a silně polišovatelné třídy kompaktů a zkoumáme jejich vlastnosti. Toto souvisí s deskriptivní složitostí ekvivalentních reali- zací dané třídy v hyperprostoru všech kompaktů. Ukážeme, že v tomto hyperprostoru je každý analytický soubor ekvivalentní...
|
|
| |
|
|
Mountain climbing theorem
Šmídová, Kristýna ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Vlasák, Václav (oponent)
Název práce: Mountain climbing theorem Autor: Kristýna Šmídová Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D., Katedra matema- tické analýzy Abstrakt: Předmětem této práce je tzv. Mountain climbers' problem. Práce se zabývá otázkou, kdy pro dvojici spojitých funkcí f, g : [0,1] → [0,1], spl- ňujících f(0) = g(0) = 0 a f(1) = g(1) = 1, existuje dvojice funkcí k, h se stejnými vlastnostmi taková, že f (k(x)) = g (h(x)) pro všechna x z intervalu [0,1]. Pro po částech prosté funkce je existence dokázána za pomoci vhodné grafové reprezentace a principu sudosti, pro lokálně nekonstantní funkce je existence dokázána konstrukčně za pomoci stejnoměrné konvergence. Dále je uveden příklad dvojice funkcí, pro které vyhovující dvojice funkcí neexistuje. Cílem práce je s použitím vhodných ilustrací názorně a srozumitelně vysvět- lit příslušné matematické konstrukce. Klíčová slova: spojitá funkce, mountain climber, stejnoměrná konvergence, princip sudosti
|
|
|
Topological entropy
Češík, Antonín ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Pražák, Dalibor (oponent)
V této práci studujeme topologickou entropii jakožto invariant topologických dynamických systémů. První kapitola obsahuje základní definice a příklady topologických dynamických systémů. Ve druhé kapitole zavedeme pojem to- pologické entropie na kompaktním metrickém prostoru. Budeme studovat její vlastnosti, zejména fakt, že je invariantní vůči konjugaci. Kapitola končí výpočtem topologické entropie pro příklady uvedené v první kapitole. Po- slední kapitola se zabývá zobecněním pojmu topologická entropie na nekom- paktní metrické prostory. Ve větším detailu je prostudován případ po částech afinních zobrazení na reálné přímce.
|
|
|
Jordanova věta o kružnici
Dudák, Jan ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Kurka, Ondřej (oponent)
Název práce: Jordanova věta o kružnici Autor: Jan Dudák Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D., Katedra matematické analýzy Abstrakt: Stěžejní částí této práce je důkaz Jordanovy věty o kružnici. Za tímto účelem jsou v práci nejdříve definovány potřebné pojmy (např. křivka a oblouk) a jsou ukázány jejich základní vlastnosti. Dále je dokázána Brouwerova věta o pevném bodu (v dimenzi 2) a některé její důsledky, které jsou následně využity (společně s několika dalšími dokázanými tvrzeními) v důkazu samotné Jordanovy věty o kružnici. Poslední kapitola této práce stručně informuje o možnostech, jak Jordanovu větu o kružnici zobecnit, přičemž odkazuje na vhodnou literaturu. Klíčová slova: Jordanova křivka, oblouk, rovina, komponenta souvislosti 1
|
|
|
Univerzální metrické prostory
Raška, Martin ; Hušek, Miroslav (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Předkládaná práce se zabývá vlastnostmi izometrických vnoření metrických prostorů do Urysohnova univerzálního prostoru U (P.S. Urysohn, 1927) a jeho zobecnění (M. Katětov, 1988). Zkoumání mnohých metrických vlastností prostoru U přechází na otázku rozšiřitelnosti vnoření ϕ: M → U z podprostoru M jistého prostoru P na vnoření Φ: P → U. K této otázce zde v situaci P = M ∪ {p} přistupujeme v jemnější podobě. Značí-li ϕ vnoření M → U, označme symbolem Rϕ množinu obrazů bodu p v U při všech možných izometrických rozšířeních vnoření ϕ (Rϕ nazýváme prostorem realizací). Hlavním předmětem práce je zodpovězení následující otázky: Jakých podob nabývají prostory Rϕ, prochází-li ϕ všechna vnoření prostoru M do prostoru U? Metrickou charakterizaci souboru {Rϕ|ϕ: M → U} podávají důsledek 1 a věta 3 ve II. části práce. V části III jsou předchozí výsledky užity k určení počtu tříd metricky ekvivalentních vnoření prostoru M do prostoru U. Jako důsledek obdržíme výsledek J. Melleraye (2007) o homogenitě prostoru U.
|
|
|
Problém tří jezer
Šulc, Dominik ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Cílem této práce je nalezení řešení problému tří jezer a podrobný d·kaz jeho správnosti. Problém tří jezer (Lakes of Wada) je úloha, která spočívá v sestrojení tří otevřených souvislých množin v rovině, které se neprotínají a mají společnou hranici. Ukážeme, že takové množiny existují a že kromě uvedených vlastností mohou být dokonce obloukově souvislé. 1
|
|
|
Velké systémy neporovnatelných kontinuí
Doležalová, Anna ; Vejnar, Benjamin (vedoucí práce) ; Kurka, Ondřej (oponent)
Cílem této práce je seznámit čtenáře se základními pojmy teorie kontinuí a s vlastnostmi některých speciálních spojitých zobrazení. Těchto znalostí se využívá pro konstrukci nekonečných systémů kontinuí, která jsou homeomorfně, otevřeně nebo monotónně neporovnatelná. Speciální pozornost je věnována systémům dendritů. Konkrétně se jedná o nespočetný systém nehomeomorfních dendritů, nespočetný systém otevřeně neporovnatelných dendritů a spočetný systém monotónně neporovnatelných lokálních dendritů. Existence nekonečného systému monotónně neporovnatelných dendritů je prozatím nevyřešenou otázkou, v práci je uveden příklad konečného systému takových dendritů libovolné konečné velikosti. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Homeomorphisms in topological structures
Vejnar, Benjamin ; Pyrih, Pavel (vedoucí práce) ; Charatonik, Włodzimierz (oponent) ; Illanes, Alejandro (oponent)
V této práci představujeme řešení několika problémů týkajících se jedno- dimenzionálních kontinuí. Podáváme induktivní popis grafů s daným číslem nesouvislosti, čímž zodpovíme otázku S. B. Nadlera. Dále předkládáme topo- logickou charakterizaci Sierpi'nského trojúhelníku. Při studiu tzv. shore množin v dendroidech a λ-dendroidech obdržíme několik pozitivních výsledků a předvede- me také několik protipříkladů. Tímto pokračujeme v nedávné práci několika autorů. Zabýváme se také pojmem 1 2 -homogenity a dokazujeme, že až na home- omorfismus existují pouze dvě 1 2 -homogenní zřetězitelná kontinua s právě dvěma koncovými body. Předvedeme také nový elegantní důkaz jednoho Waraszkiewic- zova klasického výsledku. 1
|
|
|
Souvislé kompaktifikace
Vaváčková, Martina ; Simon, Petr (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Název práce: Souvislé kompaktifikace Autor: Martina Vaváčková Katedra: Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Vedoucí bakalářské práce: prof. RNDr. Petr Simon, DrSc., Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Abstrakt: Tato práce se věnuje studiu souvislých kompaktifikací vybraných Ticho- novových prostorů. Předmětem zájmu jsou především maximální prvky v relaci částečného uspořádání, definované na množině všech souvislých kompaktifikací daného prostoru. Nejprve charakterizujeme maximální souvislé kompaktifikace prostorů s konečně mnoha komponentami a zmiňujeme některé, zejména zobec- něné uspořádané prostory, které nemají žádnou souvislou kompaktifikaci. Dále se zabýváme souvislými kompaktifikacemi prostoru racionálních čísel. Popisujeme konstrukci kompaktifikace tohoto prostoru analogickou ke konstrukci Čechovy- Stoneovy kompaktifikace a ukazujeme nutnou a postačující podmínku souvislosti a maximality takové kompaktifikace. Klíčová slova: souvislý prostor, kompaktní prostor, konektifikace, kompaktifikace
|
host ::
RSS.