|
|
Parallel numeric solution of differential equations
Nečasová, Gabriela ; Čermák, Martin (oponent) ; Kozek, Martin (oponent) ; Šátek, Václav (vedoucí práce)
Differential equations have been studied for over 300 years. Partial differential equations were first used by the Swiss mathematician and lawyer Nicolaus Bernoulli in the 18th century. Second-order partial differential equations are used to model a wide range of phenomena in science, engineering, and mathematics, such as the propagation of light and sound waves, the motion of fluids, and the diffusion of heat. The thesis deals with the parallel numerical solution of partial differential equations. Second-order partial differential equations are transformed into large systems of ordinary differential equations using the method of lines. The spatial derivatives in the partial differential equation are replaced by various types of finite differences. The resulting large systems of ordinary differential equations (initial value problem) are solved in parallel using Runge-Kutta methods and the newly proposed higher-order method based on Taylor series. The numerical experiments of the selected problems are calculated using a supercomputer with different numbers of compute nodes. The results show that the Taylor-series-based numerical method significantly over-performs state-of-the-art Runge-Kutta methods.
|
|
|
Development of effective code for earthquake dynamic source simulations
Premus, Jan ; Gallovič, František (vedoucí práce) ; Zahradník, Jiří (oponent)
Název: Vývoj efektivního kódu pro dynamické simulace zemětřesení Autor: Bc. Jan Premus Katedra: Katedra geofyziky Vedoucí práce: doc. RNDr. František Gallovič, Ph.D, Katedra geofyziky Abstrakt: Dynamické modelování trhliny ve spojení s s vystižením silných pohybů umožňuje získat vhled do fyzikálních mechanismů kontrolujících zdroj zemětřesení [Gallovič a kol., 2019]. Nelinearita inverzního problému vyžaduje spouštění velkého množství simulací. Cílem této diplomové práce je vývoj efek- tivního kódu pro řešení inverzní úlohy. Původní kód FD3D od autorů Madariagy a Olsena [1998], používající konečné difference s posunutými sítěmi, nabízel dostatečnou rychlost, ale ne přesnost. Byl použit jako základ pro další vývoj. Implementace okrajové podmínky na zlomu metodou trakce v půleném uzlu (traction at split node) a absorbční podmínky pomocí metody perfektně sladěných vrstev (per- fectly matched layers) bylo třeba k získání požadované přesnosti. Jako mod- erní alternativa ke skluzem slábnoucímu (slip weakening) zákonu tření byl im- plementován s rychlostí rychle slábnoucí (fast velocity weakening) zákon, což dále rozšířilo škálu jevů, které je možné modelovat. Nový kód FD3D TSN byl otestován pomocí...
|
|
|
On the Optimization of Initial Conditions for a Model Parameter Estimation
Matonoha, Ctirad ; Papáček, Š. ; Kindermann, S.
The design of an experiment, e.g., the setting of initial conditions, strongly influences the accuracy of the process of determining model parameters from data. The key concept relies on the analysis of the sensitivity of the measured output with respect to the model parameters. Based on this approach we optimize an experimental design factor, the initial condition for an inverse problem of a model parameter estimation. Our approach, although case independent, is illustrated at the FRAP (Fluorescence Recovery After Photobleaching) experimental technique. The core idea resides in the maximization of a sensitivity measure, which depends on the initial condition. Numerical experiments show that the discretized optimal initial condition attains only two values. The number of jumps between these values is inversely proportional to the value of a diffusion coefficient D (characterizing the biophysical and numerical process). The smaller value of D is, the larger number of jumps occurs.
|
|
|
Alternative mathematical notation and its applications in calculus
Marian, Jakub ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Zahradník, Miloš (oponent)
Práce zkoumá možnosti formalizace klasických pojmů matematické analýzy bez použití proměnných. Za tímto účelem vytváří nový matematický "jazyk", jenž je schopen popsat všechny klasické výpočty v matematické analýze (přesněji výpočty limit, konečných diferencí, jednorozměrných derivací a určitých a neurčitých inte- grálů) bez použití proměnných. Výpočty zapsané v tomto "jazyce" obsahují pouze symboly funkcí (a jsou tedy zcela rigorózní a nedávají prostor k vágnímu výkladu použitých symbolů). Obecně jsou také výrazně kratší a matematicky průhlednější než jejich tradiční verze (např. při výpočtech integrálů není potřeba zavádět žádné nové symboly a určitý integrál je formalizován tak, že všechna pravidla pro výpočet neurčitých integrálů (včetně "substitučních" pravidel) jsou přímo přenosná na pří- pad určitých integrálů. Práce také formalizuje Landauovu o-notaci způsobem, díky němuž je možné provádět s ní výpočty limit zcela rigorózním způsobem. 1
|
host ::
RSS.