|
|
Pretentious approach to analytic number theory
Čech, Martin ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Hančl, Jaroslav (oponent)
Cílem této práce je představit předstíravý přístup k analytické teorii čísel, který byl v nedávné době vyvíjen Granvillem, Soundararajanem a dalšími. V prvních čtyřech kapitolách předvedeme klasický důkaz prvočíselné věty. Poté vybudujeme předstíravý přístup, vysvětlíme rozdíly, výhody a nevýhody od kla- sických metod a ukážeme nový důkaz prvočíselné věty založený na Halászově větě. Tuto větu si poté dokážeme pomocí nových technik podle Granvilla, Harpera a Soundararajana, které jsou jednodušší než předchozí důkazy. V poslední kapitole ukážeme, jak mohou být předstíravé techniky použity k intuitivnějším důkazům jiných klasických vět nebo k důkazům výsledků nových. 1
|
|
|
Bernoulliho čísla a regulární prvočísla
Le, Anh Dung ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Vávra, Tomáš (oponent)
Cı'lem pra'ce je studium vztahu mezi regula'nı'mi prvocˇı'sly a regula'rnı'mi Bernoulliho cˇı'sly (nebo jednodusě jen Bernoulliho cˇı'sly). Formulı' trˇı'dove'ho cˇı'sla spojı'me trˇı'dove' cˇı'slo s hodnotami Di- richletovy'ch L-rˇad. Pote' vypocťeme urcˇite' hodnoty Dirichletovy'ch L-rˇad pomocı' zobecneňy'ch Bernoulliho cˇı'sel. Abychom vysětrˇili vztahy mezi dveˇma typy Bernoulliho cˇı'sel, definujeme p- adicke' Dirichletovy L-rˇady. Na konci pra'ce dostaneme kongruenci mezi trˇı'dovy'm cˇı'slem a Ber- noulliho cˇı'sly modulo p. Z definice jsou regula'rnı' cˇı'sla pra'veˇ ta, ktera' deľı' prˇı'slusňa' trˇı'dova' cˇı'sla, a proto jsme dosa'hli sve'ho cı'le. 1
|
|
|
Bruhat-Tits buildings
Lachman, Dominik ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Mishra, Manish (oponent)
Bruhatovy-Titsovy budovy jsou základním nástrojem ke studiu lineárních al- gebraických grup nad lokálními ne-archimédovskými tělesy. Cíl této práce je před- stavit budovy pro případ SLd(Qp) a explicitně popsat některé jejich geometrické a kombinatorické vlastnosti - jedná se o simpliciální komplexy. Poté co v Kapi- tole 1 uvedeme obecnou konstrukci, se detailně zaměříme na případ SL2(Qp). Se simplexy pracujeme pomocí jistých maticových reprezentantů. Budovu explicitně popíšeme a dokážeme vzorec pro grafovou vzdálenost. V Kapitole 3 se zabý- váme obecným případem SLd(Qp), d ≥ 2. Zavádíme zde nový koncept formulí vzdálenosti. V Kapitole 4 dokazujeme některá tvrzení, která platí pro Bruhatovy- Titsovy budovy obecně. V Kapitole 5 se zabýváme výpočtem takzvané galerijní vzdálenosti dvou simplexů. V poslední kapitole zobecňujeme formule vzdálenosti na případ 3 vrcholů. 1
|
|
|
Universal quadratic forms over number fields
Svoboda, Josef ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Hejda, Tomáš (oponent)
Cílem této práce je studium univerzálních kvadratických forem nad bikvadratickými tělesy. V práci defininujeme bikvadratická tělesa a popisujeme jejich strukturu. Konkrétně studujeme některé význačné (totálně kladné a aditivně nerozložitelné) prvky, jejich normy a stopy. Poté popisujeme teorii univerzálních kvadratických forem a používáme význačné prvky k důkazu dolního odhadu počtu proměnných univerzální kvadratické formy v některých bikvadratických tělesech.
|
|
|
Maximální množiny bodů na diskrétní torické mřížce bez trojic bodů ležících na stejné přímce
Skotnica, Michael ; Tancer, Martin (vedoucí práce) ; Kala, Vítězslav (oponent)
Označme τ(Tm×n) maximální počet bodů na diskrétní torické mřížce o roz- měrech m × n bez trojic bodů ležících na jedné přímce. Práce se zabývá otázkou, jaká je hodnota τ(Tm×n) pro různá m, n. Jedná se o variantu problému, který je znám jako no-three-in-line-problem. Nejdříve uvádíme některé poznatky z článků, které se touto otázkou již zabývaly. Některé z nich jsou zde zobecněny. Dále nově vylepšujeme horní a dolní odhady pro případy, které v předchozích článcích ne- byly vyřešeny, zejména pro případy, kdy rozměry mřížky jsou mocniny prvočísla. Nakonec definujeme posloupnost (τ(Tm×n))n∈N, o které dokážeme, že je periodická pro libovolné pevné m. 1
|
|
|
Algebraic proofs of Dirichlet's theorem on arithmetic progressions
Čech, Martin ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Dirichletova věta o aritmetických posloupnostech říká, že každá aritmetická posloupnost an = kn + pro nesoudělná čísla k, obsahuje nekonečně mnoho prvočísel. Původní důkaz této věty byl analytický a využíval mnoho neele- mentárních metod. Cílem této práce je najít nutné a postačující podmínky, za kterých může existovat elementárnější algebraický důkaz této věty a v těchto případech větu dokázat. 1
|
|
|
Solving diophantine equations by factorization in number fields
Hrnčiar, Maroš ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Název práce: Řešení diofantických rovnic rozkladem v číselných tělesech Autor: Bc. Maroš Hrnčiar Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D., Mathematisches Institut, Georg-August Universität Göttingen Abstrakt: Problém řešitelnosti diofantických rovnic je jedním z nejstarších ma- tematických problémů v historii. Postupně se vyvinuly různé přístupy k řešení určitých typů rovnic, z nichž se v práci zabýváme převážně metodou využívající faktorizaci v algebraickém číselném tělese. Myšlenkou této metody je vyjádřit rovnici ve tvaru L = yn , kde levá strana L je součin typicky lineárních fak- torů s koeficienty v daném číselném tělese. Při splnění několika předpokladů po- tom můžeme každý z faktorů napsat jako n-tou mocninu. Klíčovou roli při apli- kaci metody hraje struktura číselných těles, proto neoddělitelnou součást práce tvoří přehled algebraické teorie čísel. Kromě výkladu obecné teorie jsou zde uve- dené i výpočty v jednotlivých kvadratických a kubických tělesech popisující jejich vlastnosti. Hlavním předmětem práce je však řešení konkrétních úloh. Například v rovnici x2 + y2 = z3 se potýkáme s netriviálními společnými děliteli faktorů v...
|
|
|
Algebraic Substructures in Cm
Kala, Vítězslav ; Kepka, Tomáš (vedoucí práce) ; Stanovský, David (oponent) ; El Bashir, Robert (oponent)
Název práce: Algebraické podstruktury v ℂ Autor: Vítězslav Kala Katedra: Katedra algebry Vedoucí disertační práce: Prof. RNDr. Tomáš Kepka, DrSc., Katedra algebry Abstrakt: Tato práce je zaměřena na studium struktury konečně generovaných polookruhů, parapolotěles a dalších algebraických struktur za použití geomet- rických metod založených na algebraických podstrukturách Euklidovského pro- storu ℂ . Parapolotělesu , které je konečně generované jako polookruh, přiřadíme vhod- nou podpologrupu pologrupy ℕ0 (definovanou pomocí prvků takových, že + = pro nějaké ∈ a ∈ ℕ). Algebraické a geometrické vlastnosti obsahují důležité informace o struktuře ; použijeme jich k důkazu, že pokud je parapolotěleso 2-generované jako polookruh, pak je aditivně idempotentní. Uvedeme také okruhové přeformulování této hypotézy pro případ -generovaných polookruhů. Dále klasifikujeme všechna aditivně idempotentní parapolotělesa, která jsou ko- nečně generovaná jako polookruh, za použití skutečnosti, že odpovídají třídě jistých konečně generovaných unitálních svazově uspořádaných grup. Ty nedávno klasifikovali Busaniche, Cabrer a Mundici [4] pomocí kombinatorických a geomet- rických "hvězdných posloupností", což jsou posloupnosti...
|
|
| |
|
|
Simple Semirings
Kala, Vítězslav ; El Bashir, Robert (oponent) ; Kepka, Tomáš (vedoucí práce)
Známé tvrzení říká, že poud je komutativní těleso konečně generované jako okruh, je konečné. Tato práce je věnovaná zobecnění tohoto tvrzení - problému, jestli je kadý konečně generovaný ideálově jednoduchý komutativní polookruh aditivně idempotentní nebo konečný. Pomocí charakterizace ideálově jednoduchých polookruhů dokážeme, že tato otázka je ekvivalentní otázce, zda je každé komutativní parapolotěleso (polookruh, jehož multiplikativní pologrupa je grupou), které je konečně generované jako polookruh, aditivně idempotentní. V práci odvodíme řadu užitečných vlastností takovýchto parapolotěles a využijeme jich k vyřešení problému v jednogenerovaném případě. Na závěr uvedeme, jak je možné využít získaných poznatků o parapolotělesech k vyřešení dvougenerovaného případu pomocí zkoumání podpologrup Nm0.
|
host ::
