|
| |
|
|
Zobecněné limity afinních funkcí
Holub, Aleš ; Spurný, Jiří (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent)
V předložené práci je sestrojen koanalytický filtr na množině konečných posloupností přirozených čísel, který umožňuje získat silně afinní funkci libovolné borelovské třídy z kompaktní konvexní podmnožiny lokálně konvexního prostoru pomocí jediného limitního procesu (podle tohoto filtru) aplikovaného na spočetný systém spojitých afinních funkcí. A naopak se ukáže, že výsledek tohoto limitního procesu je pak právě borelovská silně afinní funkce. Dále se tento postup zobecní pomocí metody metrizovatelné redukce pro baireovské funkce v nemetrizovatelných prostorech. Poslední kapitola obsahuje výsledek o generování bianalytických funkcí v separabilních metrizovatelných prostorech opět pomocí limitního procesu ze spočetného systému spojitých funkcí.
|
|
|
Collections of compact sets in descriptive set theory
Vlasák, Václav ; Zelený, Miroslav (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent) ; Tišer, Jaroslav (oponent)
1 Název práce: Systémy kompaktních množin v deskriptivní teorii Autor: Václav Vlasák Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí doktorské práce: Doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D. Autorova e-mailová adresa: vlasakmm@volny.cz Abstract: Tato práce se skládá ze tří článků. V kapitole 2 se zabýváme souvislostmi mezi složitostí dané funkce f z polského prostoru X do polského prostoru Y a složitostí množiny C(f) = {K ∈ K(X); f K je spojitá}, kde symbol K(X) označuje prostor všech kompaktních podmnožin prostoru X opatřený Vietorisovou topologii. Dokážeme, že jestliže C(f) je ana- lytická, pak f je borelovská. Za předpokladu ∆1 2-determinovanosti ukážeme, že f je borelovská právě tehdy když C(f) je koanalytická. Předkládáme též podobné výsledky pro projektivní třídy. V kapitole 3 pokračujeme ve zkoumání systému C(f) a taktéž studujeme re- strikci tohoto systému na konvergentní posloupnosti(C(f)). Ukážeme, že systém C(f) je borelovský právě tehdy když f je borelovská. Předkládáme též podobné výsledky pro projektivní třídy. V kapitole 4 pojednáváme o HN -množinách, které tvoří důležitou podtřídu třídy množin jednoznačnosti pro trigonometrické řady. Velikost těchto tříd je zk- oumána pomocí systému měr...
|
|
|
Vlastnosti Cantorovy funkce
Fiala, Martin ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent)
Vlastnosti Cantorovy funkce Autor práce: Martin Fiala Vedoucí práce: Stanislav Hencl Abstrakt: Obsahem této práce je zkoumání vlastností Cantorovy funkce (někdy též Cantorovo d'ábelské schody, především v populární literatuře), pojmenované po významném německém matematikovi Georgu Cantorovi (3. března 1845 Petrohrad, 6. ledna, 1918 Halle). 1
|
|
| |
|
|
Borelovské množiny v topologických prostorech
Vondrouš, David ; Spurný, Jiří (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent)
Tato práce se zabývá studiem zobrazení, při kterých se zachovávají borelovské třídy nebo absolutně borelovské třídy. Dokážeme větu, díky které za určitých předpokladů existuje (selekční) zobrazení s určitými vlastnostmi. Pomocí této věty potom dosáhneme několika výsledků o zachovávání borelovských tříd a také díky této větě dokážeme větu o zachovávání absolutně borelovských tříd při perfektním zobrazení. Dále dokážeme tvrzení, díky kterému po částech uzavřené zobrazení má restrikci, která je "po částech perfektní" a má stejný obraz jako původní zobrazení. Za jistých dodatečných předpokladů dokážeme podobné tvrzení pro Fσ-zobrazení místo po částech uzavřeného zobrazení. Pomocí těchto tvrzení a zmíněné věty o zachovávání absolutně borelovských tříd při perfektním zobrazení potom získáme další výsledky o zachovávání absolutně borelovských tříd, a to zejména pro po částech uzavřená zobrazení a Fσ-zobrazení. V závěru práce zkoumáme zobrazení, při nichž vzor otevřené množiny je jisté aditivní třídy. 1
|
|
|
Řady v Banachových prostorech
Minasjan, Martin ; Spurný, Jiří (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent)
V práci zavádíme několik různých typů konvergencí řad v normovaných lineár- ních prostorech a zabýváme se vztahy mezi nimi. Dále dokážeme větu o ekvivalenci všech zavedených typů konvergencí v Banachových prostorech, tuto konvergenci nazveme bezpodmínečná konvergence. Nakonec ukážeme Dvoretzkého-Rogersovu větu, tj. že ve všech Banachových prostorech nekonečné dimenze existuje posloup- nost, která je bezpodmínečně konvergentní, ale nikoli absolutně konvergentní. 1
|
|
|
Absolute and non-absolute F-Borel spaces
Kovařík, Vojtěch ; Kalenda, Ondřej (vedoucí práce) ; Matheron, Ethienne (oponent) ; Holický, Petr (oponent)
Zabýváme se F-borelovskou složitostí topologických prostorů a tím, jak se tato složitost liší v závislosti na tom, kam je daný topologický prostor vnořen. Obzvláště nás pak zajímá, kdy je tato složitost absolutní, tj. stejná ve všech kompaktifikacích. Ukazujeme, že složitost metrizovatelných prostorů je abso- lutní. Dále odvozujeme postačující podmínku pro to, aby byl prostor absolutně Fσδ. Studujeme vztah lokální a globální složitosti a závádíme různé reprezentace F-borelovských množin. Tyto nástroje používáme k důkazu několika různých výsledků, zejména pak k získání hierarchie prostorů, jejichž složitost je neabso- lutní. 1
|
|
|
Spojitá zobrazení a věty o pevném bodu
Vondrouš, David ; Holický, Petr (vedoucí práce) ; Zelený, Miroslav (oponent)
Tato práce se zabývá obrazy kompaktních konvexních množin při spojitém zobrazení. Ukážeme zde kombinatorický důkaz slavné Brouwerovy věty o pevném bodu založený na Spernerově lemmatu. Tuto větu následně využijeme pro důkaz Brouwerovy věty o invarianci oblasti, jež tvrdí, že obraz otevřené podmnožiny eukleidovského prostoru při spojitém zobrazení je rovněž otevřený. Tento důkaz potom porovnáme s důkazem využívající Borsukovy věty. Jejich důkaz je sice komplikovanější, nicméně se ukazuje, že Borsukovy věty dávají silnější výsledky. Jedním z nich je například analogie Darbouxovy vlastnosti pro spojitá zobrazení ve vícerozměrném prostoru. 1
|
|
|
Sigma-ideál sigma-pórovitých množin
Hronek, Radek ; Zelený, Miroslav (vedoucí práce) ; Holický, Petr (oponent)
Tato práce se zabývá pojmy pórovité a σ-pórovité množiny, u kterých doka- zujeme některé základní vlastnosti. Nejdříve definujeme pojmy na reálné ose, v dalších kapitolách provádíme zobecnění do metrických prostorů. V závěru práce je sestrojeno několik zajímavých příkladů. V první kapitole konkrétně dokážeme, že σ-pórovité množiny jsou první kategorie. Hlavním výsledkem kapitoly je, že Lebesgueova míra σ-pórovitých množin na prostoru Rn je 0. V další kapitole se za- býváme σ-pórovitostí určitých množin a to v prostoru spojitých funkci, v druhém případě v prostoru neprázdných kompaktů na Rn . V obou případech ukážeme, že dané množiny jsou σ-pórovité.
|
host ::
RSS.