|
|
Weighted inequalities, limiting real interpolation and function spaces
Grover, Manvi ; Opic, Bohumír (vedoucí práce) ; Persson, Lars-Erik (oponent) ; Nekvinda, Aleš (oponent)
V této disertační práci studujeme limitní interpolační prostory opatřené tak- zvanými pomalu se měnícími váhovými funkcemi a vlastnosti operátorů defino- vaných na těchto prostorech. V článku 1 jsme odvodili podmínky, za nichž je možné popsat K-prostory získané limitní formou reálné interpolace založené na pomalu se měnících funkcích pomocí J-prostorů, a zároveň zde nalézáme odpověd' i na opačnou otázku. Dále využíváme naše hlavní výsledky k získání vět o hustotě pro odpovídající limitní interpolační prostory. V článku 2 jsme studovali kompaktnost operátorů definovaných na limitních interpolačních prostorech a odvodili kvantitativní odhady jejich míry nekompakt- nosti. V článku 3 jsme získali odhady pro duální prostory limitních interpolačních prostorů opatřených pomalu se měnícími váhovými funkcemi. 1
|
|
|
Properties of function spaces and operators acting on them
Turčinová, Hana ; Nekvinda, Aleš (vedoucí práce) ; Edmunds, David Eric (oponent) ; Sickel, Winfried (oponent)
Tato disertační práce je věnována studiu vlastností prostorů funkcí a operátorů na nich. Práce sestává ze čtyř vědeckých článků. V prvním článku uvádíme novou charakterizaci množiny Sobolevových funkcí s nulovou stopou pomocí funkce vzdálenosti od hranice oblasti. Tato charakteri- zace nově využívá prostor L1,∞ a , který obsahuje funkce z prostoru L1,∞ s absolutně spojitou kvazinormou. Ve druhém článku zkoumáme vlastnosti jisté nové škály prostorů, které jsou definovány pomocí funkcionálu založeného na maximálním nerostoucím přerovná- ní a mocninách. Motivace pro studium těchto struktur pochází z nedávného výzkumu optimálních Sobolevových vnoření do prostorů s Ahlforsovou mírou. Ve třetím článku rozšiřujeme existující diskretizační metodu pro Lorentzovy normy tak, aby ji bylo možno uplatnit i pro degenerované váhy. Pomocí této nové techniky charakterizujeme obecné vnoření mezi klasickými Lorentzovými prostory. Ve čtvrtém článku charakterizujeme trojice vah, pro které platí nerovnosti ob- sahující superpozici dvou integrálních operátorů. Aplikace výsledků třetího článku nám dovolí vynechat techniky založené na dualitě, a získat tím obecnější výsledek. 1
|
|
|
Sčítací metody
Berkman, Pavel ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Nekvinda, Aleš (oponent)
V předložené práci se zabýváme studiem limitovacích (resp. sčítacích) metod. V práci je problematika rozložena do dvou hlavních částí, a to na poznatky zaměřené na ele- mentárnější limitovací metody, kterými jsou například Huttonova, Cesàrova a Abelova metoda, a na metody, které předchozí zobecňují, například třída maticových limitova- cích metod. Důležitým pilířem je potom Toeplitzova věta, která charakterisuje regulární maticové metody. Současně v práci zavádíme pojem nevlastní regularity, který následně zkoumáme na jednotlivých metodách. Rozšiřujeme tak své poznatky o jejich poli konvergence. Zejména se pak zabýváme Huttonovou limitovací metodou, u které předkládáme i některé vlastní výsledky. Veškeré získané poznatky jsou pro lepší pochopení ilustrovány na konkrétních příkladech. 1
|
|
|
Characterization of functions with zero traces via the distance function
Turčinová, Hana ; Nekvinda, Aleš (vedoucí práce) ; Edmunds, David Eric (oponent)
Necht' Ω ⊂ RN je oblast s lipschitzovskou hranicí, d(x) = dist(x, ∂Ω) je funkce vzdálenosti od hranice Ω a p ∈ (1, ∞). Známá charakterizace prostoru funkcí s nu- lovou stopou říká, že u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když platí u/d ∈ Lp (Ω) a zároveň ∇u ∈ Lp (Ω). Tento výsledek byl v poslední době několikrát vylepšen v tom smyslu, že podmínka u/d ∈ Lp (Ω) byla postupně zeslabována. Bylo dokázáno, že u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když platí u/d ∈ L1 (Ω) a zároveň ∇u ∈ Lp (Ω). Zatím nejlepší výsledek v tomto směru lze nalézt v autorčině bakalářské práci, kde je dokázáno, že podmínku u/d ∈ Lp (Ω) je možné zeslabit až na u/d ∈ L1,p (Ω), ovšem pouze v případě, kdy N = 1. V této diplomové práci dokážeme, že pro libovolnou dimenzi N ≥ 1, a každá p ∈ (1, ∞) a q ∈ [1, ∞) platí u ∈ W1,p 0 (Ω) právě tehdy, když u/d ∈ L1,q (Ω) a ∇u ∈ Lp (Ω). Na závěr pomocí protipříkladu ukážeme, že naši podmínku není možné nahradit podmínkou u/d ∈ L1,∞ (Ω). 1
|
|
| |
|
|
Laplaceova transformace na prostorech funkcí
Buriánková, Eva ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Nekvinda, Aleš (oponent)
V této práci studujeme chování Laplaceovy transformace na Banachových prostorech funkcí invariantních vůči přerovnání. Náš hlavní cíl je popsat optimální cílový prostor, příslušející zadanému prostoru v kategorii Banachových prostorů funkcí invariantních vůči přerovnání. Nejdříve dokážeme klíčový odhad nerostoucího přerovnání obrazu dané funkce při Laplaceově transformaci. Tento odhad dále použijeme ke konstrukci optimálního cílového prostoru. Tento obecný postup aplikujeme na určení optimálních vztahů mezi Lebesgueovými a Lorentzovými prostory při Laplaceově transformaci.
|
|
|
Weighted rearrangement-invariant function spaces
Soudský, Filip ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Nekvinda, Aleš (oponent)
V této práci se zaměříme na studium zobecněných Gamma prostorů GΓ(p, m, v) a určíme některé jejich důležité vlastnosti. V článku Relative Rearran- gement Methods for Estimating Dual Norm (viz. citovaná literatura) se autoři po- kusili charakterizovat jejich asociovanou normu, ale získali pouze několik jejích jed- nostranných odhadů. Pomocí nich pak ukázali reflexivitu prostorů pro p ≥ 2 a m > 1, navíc vše na prostorech konečné míry. Avšak charakterizace asociované normy a otázka reflexivity pro 2 > p > 1 zůstaly otevřenými problémy. V této práci zobecníme úlohu na σ-konečné prostory a tyto otevřené problémy vyřešíme. 1
|
|
|
Compactness of higher-order Sobolev embeddings
Slavíková, Lenka ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Nekvinda, Aleš (oponent)
V předložené práci studujeme kompaktnost Sobolevových vnoření m-tého řádu na oblasti Ω ⊆ Rn vybavené pravděpodobnostní mírou ν a splňující jistou izoperi- metrickou nerovnost. Odvodíme podmínku na dvojici prostorů X(Ω, ν) a Y (Ω, ν) invariantních vůči nerostoucímu přerovnání, která zaručuje kompaktnost vnoření Sobolevova prostoru V m X(Ω, ν) do Y (Ω, ν). Tato podmínka je vyjádřena po- mocí kompaktnosti jistého operátoru na reprezentačních prostorech. Získaný výsledek poté využijeme k charakterizaci kompaktních Sobolevových vnoření na konkrétních prostorech s mírou, kterými jsou Johnovy oblasti, Maz'yovy třídy oblastí v eukleidovském prostoru a součinové pravděpodobnostní prostory, jejichž standardním příkladem je Gaussův prostor. 1
|
|
| |
|
|
Isoperimetric problem, Sobolev spaces and the Heisenberg group
Franců, Martin ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Cianchi, Andrea (oponent) ; Nekvinda, Aleš (oponent)
V této disertační práci studujeme vnoření prostorů funkcí definovaných na Carnotových-Carathéodoryových prostorech. Hlavními výsledky práce jsou pod- mínky pro sobolevovské vnoření vyššího řádu mezi prostory s normou invariantní vůči nerostoucímu přerovnání. Ve speciálním případě, kdy je v pozadí ležící prostor s mírou takzvanou X-PS doménou v Heisenbergově grupě, dostáváme úplnou charakterizaci Sobolevova vnoření. Další sada hlavních výsledků se týká kompaktnosti zmíněných vnoření (v těchto případech získáváme postačující podmínky). Z obecných výsledků vyvozujeme specifická vnoření pro důležité konkrétní případy prostorů funkcí. V závěrečné části práce uvádíme nový al- goritmus pro aproximaci nejmenší konkávní majoranty funkce definované na intervalu s odhadem chyby této aproximace. 1
|
host ::
RSS.