|
|
Slabé aritmetické teorie a jejich modely.
Glivický, Petr ; Mlček, Josef (vedoucí práce) ; Pajas, Petr (oponent)
V předložené práci studujeme teorie v jazyce aritmetiky L rozšířeném o jeden binární funkční symbol s významem exponenciály. Pro libovolnou teorii v jazyce aritmetiky pak lze zavést její rozšíření v tomto novém jazyce Le přidáním dodatečných axiomů postulujících základní vlastnosti exponenciály. Používáme dva soubory axiomů pro exponenciálu - Exp1 a Exp2. V teoriích, kterými se zabýváme, je tedy vždy exponenciála zavedena axiomaticky. Ukazujeme, že v takových teoriích není velká Fermatova věta dokazatelná, a to v podstatě bez ohledu na sílu původní teorie. V práci zavádíme obecnou parametrickou metodu konstrukce exponenciály v modelech aritmetiky spočívající v "rozložení nějaké původní exponenciály na kratší úseky a jejich opětovném sestavení do exponenciály splňující požadované vlastnosti. Jako aplikace této metody jsou pak uvedeny tři konzistenční výsledky týkající se silnějších verzí negace velké Fermatovy věty. Prvním výsledkem je konstrukce modelu v práci definované aritmetiky Ar + Exp1, v němž má rovnice x + y = z nenulové řešení pro kofinálně mnoho exponentů . Druhý výsledek umožňuje expandovat libovolný model teorie I1 do modelu teorie Exp2, ve kterém je Fermatova věta opět porušena kofinálně mnoha exponenty. Třetím výsledkem je konstrukce modelu teorie ThL(N) + Exp2, v němž nastává x + y = z pro...
|
|
|
Limitní ultramocnina a neregulární univerzum
Klimeš, Martin ; Mlček, Josef (vedoucí práce) ; Pajas, Petr (oponent)
Je navrženo zobecnění limitní ultramocniny tak, aby poskytlo charakterizaci (standardně omezených částí) elementárních rošíření universa teorie množin; speciálně je aplikovatelná na modely nestandardní teorie množin. Důraz je přitom kladen na slabý princip standardizace, kterému je věnována zvláštní sekce, stejně jako otázce saturovanosti. Jsou zachyceny souvislosti mezi elementární vnořitelností nestandardních rozšíření universa a zobecněným Rudin-Keislerovým uspořádáním, a mezi standardizovatelností a Rudin-Frolíkovým uspořádáním ultrafiltrů. Dále je ukázáno, že existence nestandardních rozšíření, k jejichž nagenerování ze standardního universa je třeba vlastní třídy prvků, vynucuje existenci modelu s měřitelným kardinálem.
|
|
|
Booleovy algebry a teorie 1. řádu.
Cepák, Jiří ; Mlček, Josef (vedoucí práce) ; Pajas, Petr (oponent)
Budeme studovat Lindenbaumovy algebry a algebry definovatelných množin vybraných teorií prvního řádu: teorie konstant pro a, Presburgerovy, Robinsonovy, Peanovy a standardní aritmetiky, teorie následníka, teorie následníka s nulou, teorie hustého lineárního uspořádání bez konců, teorie diskrétního lineárního uspořádání, teorie náhodných grafů a teorie algebraicky uzavřených těles. Pro konečné algebry určíme počet jejich prvků, pro spočetné algebry určíme, zda jsou atomární či bezatomární a pro některé z nich provedeme klasifikaci až na isomorfismus pomocí algeber FA, ASA a CA. Za tímto účelem dokážeme několik obecných vět.
|
|
| |
|
|
Teorie a algebry formulí
Garlík, Michal ; Mlček, Josef (vedoucí práce) ; Glivický, Petr (oponent)
V předložené práci studujeme teorie prvého řádu a jejich Lindenbaumovy algebry zkoumáním vlastností řetězu BnT n<ω, nazvaného B-řetěz, kde BnT je podalgebra Lindenbaumovy algebry daná formulemi s nejvýše n volnými proměnnými. Obohatíme strukturu Lindenbaumovy algebry, abychom zachytili rozdíly mezi teoriemi, jejichž B-řetězy jsou člen po členu izomorfní. Podáme několik příkladů teorií a spočítáme jejich B-řetězy. Zkonstruujeme model Robin- sonovy aritmetiky s n-tou algebrou definovatelných množin izomorfní kartézskému součinu spočetné atomární saturované Booleovy algebry a spočetné bezatomární Booleovy algebry. 1
|
|
|
Modely aritmetických a bohatých teorií
Glivický, Petr ; Mlček, Josef (vedoucí práce) ; Vopěnka, Petr (oponent)
V předložené práci formulujeme problematiku oboru peanovských součinů (na daném modelu Presburgerovy aritmetiky (Pr)) jakožto potenciálně možného základu pro konstrukci modelů Peanovy aritmetiky (PA). Tato problematika je speciálním případem fenoménu prezentace, který úzce souvisí s pojmem bohaté teorie. Dále se zabýváme jednou ze základních otázek o oboru peanovských součinů, totiž problémem, zda na daném modelu M |= Pr mohou existovat dva peanovské součiny (· , ) shodující se na nějakém slicu a M: (x)(a·x = ax) a přitom různé pod a: (c, d < a)(c·d 6=c d). Tento problém převedeme na otázku, zda eliminační množina lineární aritmetiky (LA) je podmnožinou množiny existenčních formulí. Úplnou odpověď na tuto otázku v práci nepodáme, dokážeme pouze, že formule tvaru (x)(z1, z2) , kde je konjunkce rovností termů, je ekvivalentní s existenční. Naznačíme, že otázka eliminace v LA je podstatně těžší než v Pr či v teorii modulů a ukážeme, že souvisí s problémem popisu konečně generovaných podmonoidů Z. Přitom zavedeme pojmy (regulární množina, standardní racionalita, zubatice, . . .) a metody, které, jak věříme, budou podstatné pro případné budoucí rozřešení tohoto problému.
|
|
|
Infinitesimální kalkulus funkcí více proměnných
Ráž, Adam ; Mlček, Josef (vedoucí práce) ; Balcar, Bohuslav (oponent)
Práce navazuje na alternativní teorii mno¾in a polomno¾in Petra Vopìnky roz¹íøením pojmù nekoneèné blízkosti a monády na vícerozmìrné reálné prostory. Upøesòuje a na pøíkladech vysvìtluje základní terminologii této teorie, zejména pak pojem mno¾iny, polomno¾iny a oboru. Zavádí dva svìty | antický a klasický | na nich¾ ukazuje dvojí pohled na reálné funkce více promìnných, pomocí nìho¾ zkoumá jejich lokální vlastnosti, jakými jsou spojitost, limita èi derivace v bodì. Vrcholem práce jsou alternativnì zformulované a dokázané vìty o implicitní funkci a o inverzním zobrazení. V práci jsou také uvedena pøekladová pravidla, pomocí nich¾ lze v¹echny výsledky formulované tímto alternativním zpùsobem pøevést do øeèi tradièního pojetí matematické analýzy.
|
|
| |
|
|
Infinitesimální kalkulus funkcí více proměnných
Ráž, Adam ; Mlček, Josef (vedoucí práce) ; Balcar, Bohuslav (oponent)
Práce navazuje na alternativní teorii mno¾in a polomno¾in Petra Vopìnky roz¹íøením pojmù nekoneèné blízkosti a monády na vícerozmìrné reálné prostory. Upøesòuje a na pøíkladech vysvìtluje základní terminologii této teorie, zejména pak pojem mno¾iny, polomno¾iny a oboru. Zavádí dva svìty | antický a klasický | na nich¾ ukazuje dvojí pohled na reálné funkce více promìnných, pomocí nìho¾ zkoumá jejich lokální vlastnosti, jakými jsou spojitost, limita èi derivace v bodì. Vrcholem práce jsou alternativnì zformulované a dokázané vìty o implicitní funkci a o inverzním zobrazení. V práci jsou také uvedena pøekladová pravidla, pomocí nich¾ lze v¹echny výsledky formulované tímto alternativním zpùsobem pøevést do øeèi tradièního pojetí matematické analýzy.
|
|
|
Study of Arithmetical Structures and Theories with Regard to Representative and Descriptive Analysis
Glivický, Petr ; Mlček, Josef (vedoucí práce) ; Vopěnka, Petr (oponent) ; Zlatoš, Pavol (oponent)
disertační práce Studium aritmetických struktur a teorií s ohledem na reprezentační a deskriptivní analýzu Petr Glivický Jsme motivováni otázkou vztahu lokálních a globálních vlastností operace o ve struktuře tvaru B, o s ohledem na aplikaci pro studium modelů B, · Peanovy aritmetiky, kde B je model aritmetiky Presburgerovy. Zajímá nás zejména problém závislosti, který formulujeme jako otázku určení uzávěru závislosti iclO (E) = {d ∈ Bn ; (∀o, o ∈ O)(o E = o E ⇒ o(d) = o (d))}, kde B je struktura, O množina n-árních operací na B a E ⊆ Bn. Ukážeme, že tento problém lze převést na otázku definovatelnosti v jisté expanzi B. Speciálně, je-li B saturovaný model Presburgerovy aritmetiky a O množina všech (saturovaných) peanovských součinů na B, dokážeme, že pro a ∈ B je iclO ({a} × B) nejmenší možný, tj. obsahující právě ty dvojice (d0, d1) ∈ B2, kde jedno z di je tvaru p(a) pro nějaký polynom p ∈ Q[x]. Uvedená problematika úzce souvisí s deskriptivní analýzou lineárních teorií, což jsou (až na změnu jazyka) teorie jistých diskrétně uspořádaných modulů nad určitými diskrétně uspořádanými obory integrity. Dokážeme tvrzení o eliminaci kvantifikátorů v lineárních teoriích a nalezneme prvomodely jejich...
|
host ::
RSS.