|
|
Vlastnost stínování v numerických metodách pro parciální diferenciální rovnice
Brichta, Ondřej ; Kučera, Václav (vedoucí práce) ; Knobloch, Petr (oponent)
Předkládaná práce se zabývá stínováním v numerických metodách pro parciální di- ferenciální rovnice. Cíle této práce jsou prostudovat problematiku stínování v případě lineárního zobrazení, vhodně upravit standardní metody pro účely zmíněné aplikace a aplikovat vybudovanou teorii na vícekrokové metody. V úvodní přehledové části se nejprve zaměříme na studium standardní teorie stínování, formulujeme základní tvrzení a uká- žeme vztah kontraktivity a stínování. Dále nalezneme charakterizaci stínovací vlastnosti pro lineární zobrazení. Následně vhodně adaptujeme stínovací teorii, aby byla umožněna aplikace ve vícekrokových numerických metodách. Příslušnou aplikaci potom vysvětlu- jeme na příkladu Dufortova-Frankelova schématu. V závěru práce uvádíme poznámky k vyšetřování stínování v obecných vícekrokových metodách a poznámky o vztahu stínování a stability. 1
|
|
|
Numerical Solution of Convection-dominated Problems
Lukáš, Petr ; Knobloch, Petr (vedoucí práce) ; Burman, Erik (oponent) ; Linß, Torsten (oponent)
Název práce: Numerické řešení úloh s dominantní konvekcí Autor: Petr Lukáš Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí disertační práce: doc. Mgr. Petr Knobloch, Dr., DSc., Katedra numerické matematiky Abstrakt: Numerické řešení skalárních rovnic typu konvekce-difúze-reakce často obsahuje nefyzikální oscilace, které se vyskytují v diskrétním řešení, pokud konvekce je dominantní a pokud jsou používány standardní neadaptivní diskretizace. Řešení těchto problémů s dominantní konvekcí vyžaduje speciální techniky na potlačení těchto oscilací. Často jsou aplikovány stabilizační metody, které obsahují volné parametry. Tyto parametry pak výrazně ovlivňují kvalitu řešení, ale většinou nevíme, jak je optimálně volit. V předložené práci tyto parametry volíme adaptivně na základě minimalizace funkce (indikátoru chyby), která charakterizuje kvalitu řešení. Používáme nelineární optimalizační metody, které mají omezené požadavky na paměť. Netriviální požadavek na indikátor chyby je ten, že jeho minimalizací na základě vhodné volby stabilizačních parametrů by mělo dojít k potlačení oscilací bez rozmazaní vrstev. V této disertační práci se zabýváme novými indikátory a jejich použitím v různých případech. Klíčová slova: FEM, optimization, SUPG, SDFEM, SOLD, Error indicator
|
|
|
Numerické řešení rovnic konvekce-difúze pomocí stabilizačních a adaptivních metod
Lamač, Jan ; Knobloch, Petr (vedoucí práce) ; Dolejší, Vít (oponent)
The subject of the present Master Thesis is a comparison of numerical solution of convection-diffusion equations aproaches using stabilization and adaptive methods. Firstly the basic aspects and thoughts of employed numerical method - Galerkin finite element method - are summarized. Consequently the most common kinds of stabilization methods for spurious oscillations diminishing are defined (esp. SUPG method). Next section is devoted to a posteriori error estimations and adaptive refinement of triangulation which could help to diminish the spurious oscillations too. All mentioned methods and techniques are implemented and finally tested on the sample examples.
|
|
|
Smíšená metoda konečných prvků pro Poissonovu rovnici
Švihlová, Helena ; Knobloch, Petr (vedoucí práce) ; Dolejší, Vít (oponent)
Cílem této práce je implementovat smíšenou metodu konečných prvků na Poisso- novu rovnici a provést srovnání výsledků s klasickou metodou konečných prvků. Práce je rozdělena do dvou kapitol. V první kapitole jsou popsány prostory, které se vyskytují ve slabé formulaci Poissonovy rovnice a prostory, kterými je vhodné je aproximovat. Druhá kapitola se zabývá existencí řešení aproximovaných úloh spolu s jejich konvergencí. Hlavní částí této práce jsou grafy řešení obou metod a tabulky srovnávající chyby těchto řešení pro tři různé funkce. 1
|
|
|
Počítačová simulace radiobiologického účinku kyslíku
Havle, Oto ; Felcman, Jiří (vedoucí práce) ; Knobloch, Petr (oponent)
Průnikem částice radioaktivního záření do vnitřního prostředí buňky je zahájen proces, na jehož konci může být buňka zničena v důsledku poškození molekul DNA nesoucích dědičnou informaci. Průběh chemické fáze radiobiologického procesu je ovlivněn přítomností dalších látek v cytoplazmě, zejména rozpuštěného kyslíku. Studium reakcí probíhajících v chemické fázi může napomoci vysvětlení radioprotektivní nebo radiosenzitivní role kyslíku za různých koncentrací. V této diplomové práci jsou difuzní a reakční pochody chemické fáze radiobiologického procesu modelovány pomocí soustavy parabolických semilineárních parciálních diferenciálních rovnic. Model je doplněn o kvantifikaci poškození DNA. Je odvozena klasická a slabá formulace příslušné počáteční úlohy ve třech dimenzích, dokázána jednoznačnost řešení. Za předpokladu sférické symetrie je odvozena ekvivalentní jednorozměrná úloha. Za zjednodušujících předpokladů je dokázána existence řešení Galerkinovou metodou. Jednorozměrná úloha je diskretizována metodou konečných prvků, je odvozen odhad chyby diskretizace. V rámci diplomové práce byl model také realizován na počítači a získány numerické výsledky, které jsou kvalitativně srovnatelné s fyzikální skutečností.
|
|
| |
|
|
Fourierova metoda pro řešení parciálních diferenciálních rovnic
Tůma, Karel ; Pokorný, Milan (vedoucí práce) ; Knobloch, Petr (oponent)
Na./cv prace: Fouricrova metoda pro feseni parc.ialnich dirornncialnich rovnic Autor: Karri Tuma Katedra (ust.av): Matematicky ust.av UK Vedouci bakalafske praoo: Mgr. Milan Pokorny, Ph.D. e-mail vodouciho: pokorny@karlin.mff.cuni.cz Abstra.kt: V pfedlo/ene praci odvodime rovnici vedeni tepla a.rovnici slruny. Ty pak nasledno. fesime v jodno prost.orove dimenxi ponioci Fonricrovy me- tody apocivajfci v separaci promennych a nale/eni feseni vc l.varn ncko- nccnc' fady. Zaljyvainc so t.fonii ru/nymi okrajovynii podininkanii. Dah^ vy- sotrujomo vlastnosii foscni tcchlo dvou problcmu. Provadinio analyzu kon- vorgtuicc fx'soni vu tvaru fad v -/avislosti na pocat.ocnich podminkach uloh. Uka/c-me. /o pornoci Fouriorovy inolody l/.c fosil lako stucionarni ulohy, konkrctno so zabyvanio Laplaccoviju rovnici s okrajovynii podminkami na ruznych oblasloch (kruh. vyscc. vyscc mc/ikru/f, mraikru/i). Klicova slova: Parcialni diforoncialni rovnico, Fouricrova tnot.oda, rovnico vodoni lopla, rovnico sLruny. Title: Fourier method for solving partial differential equations Author: Karel Tuma, Department: Matematicky ustav UK Supervisor: Mgr. Milan Pokorny. Ph.D. Supervisor's e-mail address: pokorny@karlin.raff.cuni.cz Abstract: In the present work we derive the heat equation and the wave equation. They arc- solved in one space...
|
|
|
Mathematical Analysis and Numerical Computation of Volume-Constrained Evolutionary Problems Involving Free Boundaries
Švadlenka, Karel ; Feistauer, Miloslav (vedoucí práce) ; Křížek, Michal (oponent) ; Knobloch, Petr (oponent)
The object of study of the present thesis are evolutionary problems satisfying volume preservation condition, i.e., problems whose solution have a constant value of the integral of their graph. In particular, the following types of problems with volume constraint are dealt with: parabolic problem (heat-type), hyperbolic problem (wave-type), parabolic free-boundary problem (heat-type with obstacle) and hyperbolic free-boundary problem (degenerate wave-type with obstacle). The key points are design of equations, proof of existence of weak solutions to them and development of numerical methods and algorithms for such problems. The main tool in both the theoretical analysis and the numerical computation is the discrete Morse flow, a variational method consisting in discretizing time and stating a minimization problem on each time-level. The volume constraint appears in the equation as a nonlocal nonlinear Lagrange multiplier but it can be handled elegantly in discrete Morse flow method by restraining the set of admissible functions for minimization. The theory is illustrated with results of numerical experiments.
|
|
|
Počítačová simulace a numerická analýza problémů stlačitelného proudění
Kubera, Petr ; Felcman, Jiří (vedoucí práce) ; Knobloch, Petr (oponent) ; Fürst, Jiří (oponent)
Tato práce se zabývá konstrukcí adaptivní výpočtové sítě v 1D a ve 2D v kontextu metody konečných objemů. Adaptivní strategie je aplikována na numerické řešení Eulerových rovnic, což je hyperbolický systém parciálních diferenciálních rovnic. Použitý postup je určen pro nestacionární problémy a skládá se ze tří v podstatě nezávislých kroků, jež jsou cyklicky opakovány. Těmito kroky jsou: výpočet pomocí schématu metody konečných objemů, dále pak adaptace sítě a přepočet numerického řešení z neadaptované sítě na síť adaptovanou. Díky tomu je tento algoritmus použitelný i na jiné, nejen hyperbolické systémy. Těžiště práce spočívá v návrhu vlastní adaptační strategie, založené na anisotropní adaptivitě, která bude v každém adaptačním kroku splňovat tzv. geometrický zákon zachování. V práci je též porovnání námi navržené strategie s algoritmy typu Moving Mesh pro úlohy s pohybující se nespojitostí.
|
|
|
Volba parametru metody SUPG pro konečné prvky vyššího řádu přesnosti
Kohutka, Jiří ; Knobloch, Petr (vedoucí práce) ; Dolejší, Vít (oponent)
V této práci se zabýváme metodou konečných prvků Streamline Upwind/Petrov-Galerkin (SUPG) a používáme ji k řešení stacionární okrajové úlohy pro rovnici konvekce-difuze s převažující konvekcí s Dirichletovou okrajovou podmínkou na celé hranici omezené polyedrické výpočetní oblasti dimenze 1 resp. 2. Uvažujeme lagrangeovské kvadratické konečné prvky na úsečkách resp. trojúhelnících. Jádrem práce je návrh volit stabilizační parametr metody SUPG ve výtokové hraniční vstvě jako funkci afinní po elementech a ve zbytku výpočetní oblasti jako funkci konstantní po elementech. Ukážeme, že tato volba dává přesnější řešení než volba stabilizačního parametru konstantního na všech elementech. 1
|
host ::
RSS.