|
|
Regularizační metody založené na metodách nejmenších čtverců
Michenková, Marie ; Hnětynková, Iveta (vedoucí práce) ; Zítko, Jan (oponent)
Název práce: Regularizační metody založené na metodách nejmenších čtverců Autor: Marie Michenková Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: RNDr. Iveta Hnětynková, Ph.D. Abstrakt: V této práci se zabýváme lineárními inverzními problémy Ax ≈ b, kde A je zhlazující lineární opearátor a b reprezentuje vektor pozorování zatížený neznámým šumem. V práci [Hnětynková, Plešinger, Strakoš, 2009] bylo ukázáno, že vysokofrekvenční šum se během Golubovy-Kahanovy iterační bidiagonalizace vyjevuje v levých bidiagonalizačních vektorech. V práci navrhujeme metodu, která identifikuje iteraci s maximálním vyjevením šumu a redukuje vysokofrekvenční šum odečtením příslušného (škálovaného) bidiagonalizačního vektoru od vektoru b. Tato metoda je následně testována pro různé typy šumu. Dále Hnětynková, Plešinger a Strakoš odvodili metodu k odhadování hladiny šumu v datech. V práci navrhujeme modifikaci této metody založenou na znalosti bodu maximalního vyjevení šumu. Klíčová slova: ill-posed problémy, regularizace, Golubova-Kahanova iterační bidiagonalizace, vyjevení šumu, odhad šumu, odšumování 1
|
|
| |
|
|
Analysis of Krylov subspace methods
Gergelits, Tomáš ; Strakoš, Zdeněk (vedoucí práce) ; Hnětynková, Iveta (oponent)
Název práce: Analýza Krylovovských metod Autor: Tomáš Gergelits Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc. Abstrakt: Po odvození metody sdružených gradientů (CG) a krátkém přehledu souvislostí s dalšími oblastmi matematiky se práce zaměřuje na konvergenční chování v přesné aritmetice i v aritmetice s konečnou přesnotí. Podrobně je popsán principiální rozdíl mezi CG a Čebyševovou semi-iterační metodou a je diskutována praktická využitelnost široce rozšířeného lineárního odhadu založe- ného na vlastnostech Čebyševových polynomů. Na příkladu odhadů rychlosti konvergence založených na složených polynomech je ukázána nutnost zahrnutí vlivu zaokrouhlovacích chyb do jakýchkoli úvah o rychlosti konvergence metody CG, které mají být využitelné v praktických výpočtech. Blízkost navzájem si odpovídajících CG aproximací vzniklých ve výpočtech v aritmetice s konečnou přesností a v přesné aritmetice je studována porovnáním jejich trajektorií. Práce je zakončena diskuzí problémů spojených s citlivostí Gauss-Christoffelovy kvadra- tury, jež s metodou CG úzce souvisí. Na poslední dvě témata může být navázáno v další práci. Klíčová slova: Metoda...
|
|
|
Teorie a aplikace krylovovských metod v souvislostech
Gergelits, Tomáš ; Strakoš, Zdeněk (vedoucí práce) ; Hnětynková, Iveta (oponent)
Název práce: Teorie a aplikace Krylovovských metod v souvislostech Autor: Tomáš Gergelits Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí bakalářské práce: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc. Abstrakt: Po seznámení se s vlastnostmi Čebyševových polynomů a základním přehledem stacionárních iteračních metod je práce zaměřena na studium metody konjugovaných gradientů (CG), Krylovovské metody vhodné pro symetrické a pozitivně definitní matice. Je zdůrazněn principiální rozdíl mezi stacionárními a Krylovovskými metodami. Metoda konjugovaných gradientů je odvozena využi- tím minimalizace kvadratického funkcionálu a detailně je ukázána souvislost s dal- šími oblastmi matematiky (Lanczosova metoda, ortogonální polynomy, kvadra- turní vzorce, problém momentů). Je vyzdvihnut vliv konečné aritmetiky. Na teoretickou část navazují experimenty, které studují odhad odvozený v přesné aritmetice a který je často uváděný v literatuře. Je ukázáno, že tento odhad nutně selhává v praktických výpočtech. Na závěr práce jsou popsány dva otevřené problémy, jež mohou být předmětem dalšího studia. Klíčová slova: Metody Krylovovských podprostorů, konergenční vlastnosti, nu- merická stabilita, spektrální informace, odhady rychlosti...
|
|
|
Maticové funkce a jejich numerické aproximace
Suchá, Darja ; Hnětynková, Iveta (vedoucí práce) ; Strakoš, Zdeněk (oponent)
V předložené práci studujeme numerické metody pro aproximaci funkce f matice A. Nejprve uvedeme teoretický základ - shrneme možné definice maticových funkcí a jejich vlastnosti. Dále představíme základní numerické metody výpočtu aproximace f(A). V mnoha aplikacích potřebujeme aproximovat maticovou funkci f(A) aplikovanou na předem daný vektor b, tj. f(A)b. Zejména, pokud A je velká a řídká, výpočet aproximace f(A) a následné přenásobení vektorem b může být výpočetně velmi náročné. Proto se v dalších kapitolách zabýváme numerickými metodami, které počítají přímo aproximaci f(A)b. Hlavní důraz je kladen na polynomiální aproximaci ve smyslu nejmenších čtverců a několik modifikací Krylovovských metod. Numerické experimenty ukazují srovnání konvergence a časové náročnosti výpočtu aproximace. 1
|
|
|
Approximate Polynomial Greatest Common Divisor
Eliaš, Ján ; Zítko, Jan (vedoucí práce) ; Hnětynková, Iveta (oponent)
Název práce: Approximate Polynomial Greatest Common Divisor Autor: Ján Eliaš Katedra: Katedra numerické matematiky, MFF UK Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Jan Zítko, CSc., Katedra numerické matematiky, MFF UK Abstrakt: Výpočet najväčšieho spoločného delitel'a (GCD) dvoch polynómov patrí medzi základné problémy numerickej matematiky. Euklidov algoritmus je najstaršia a bežne používaná metóda na výpočet GCD, avšak táto metóda je značne nestabilná. Výpočet GCD je navyše zle postavená úloha v tom zmysle, že l'ubovol'ný šum pridaný ku koeficientom polynómov redukuje netriviálny GCD na konštantu. Jednu skupinu nových metód predstavujú metódy založené na odhade numerickej hod- nosti matíc. Operácie s polynómami sa tak redukujú na maticové počty. Ich nevýhodou je, že ani numerická hodnost' nemusí byt' spočítaná presne a hodnoverne kvôli citlivosti singulárnych čísel na šume. Ciel'om práce je prekonat' citlivost' výpočtu GCD na šume. Klíčová slova: AGCD, Sylvesterova matica, numerická hodnost', TLS
|
|
|
Numerické řešení inverzních integrálních rovnic matematického modelování ve výzkumu biopaliv
Bílková, Zuzana ; Hnětynková, Iveta (vedoucí práce) ; Kofroň, Josef (oponent)
Název práce: Numerické řešení inverzních integrálních rovnic matema- tického modelování ve výzkumu biopaliv Autor: Zuzana Bílková Katedra / Ústav: Katedra numerické matematiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Iveta Hnětynková, Ph.D., Katedra nu- merické matematiky MFF UK Abstrakt: Cílem této bakalářské práce je numerické řešení Fredholmových integrálních rovnic prvního řádu, které se vyskytují ve výzkumu biopaliv. Práce se zaměřuje na studium Lagrangových interpolačních kvadraturních formulí. Uvažujeme lichoběžníkové a Simpsonovo pravidlo s využitím ekvidistantního a logaritmického dělení. Cílem práce je srovnání těchto pravidel a nalezení nej- vhodnější metody. Práce se dále zabývá určením minimálního počtu naměře- ných dat tak, abychom dosáhli dané přesnosti. Poznatky jsou demonstrovány na numerických experimentech se simulovanými daty. Klíčová slova: inverzní integrální rovnice, kvadratura, konvergence, odhad chyby 1
|
|
|
Numerické metody zpracování obrazu
Tóthová, Katarína ; Hnětynková, Iveta (vedoucí práce) ; Zítko, Jan (oponent)
Cieľom tejto práce je podať ucelený prehľad vybraných numerických metód spracovania obrazu, konkrétne popísať konštrukciu, vlastnosti a spôsoby riešenia problémov zaostrovania obrazu popísaných pomocou sústavy Ax = b. Tieto úlohy častokrát spadajú do skupiny tzv. ill-posed problémov so zle podmienenou maticou A, čím si vyžadujú špeciálny prístup. V tejto práci ponúkame stručný prehľad vybraných regularizačných techník, ktoré môžu byť v tomto prípade použité - či už ide o metódy priame (TSVD, Tikhonova regularizácia) alebo iteračné (CGLS, LSQR), spolu s príslušnými metódami pre voľbu regularizačného parametra - L-krivkou, GCV a princípom diskrepancie. Výklad je doplnený o numerické experimenty pracujúce s reálnymi obrazovými dátami.
|
|
|
Lineární algebraické modelování úloh s nepřesnými daty
Vasilík, Kamil ; Hnětynková, Iveta (vedoucí práce) ; Janovský, Vladimír (oponent)
V predloženej práci sledujeme úlohy Ax b, ktoré pochádzajú z diskretizácie ill-posed problémov, kde pravá strana b obsahuje (neznámy) šum. V [29] je ukázané, že za určitých prirodzených podmienok, s použitím Golub-Kahanovej iteračnej bidiagonalizácie, môže byť veľkosť hladiny šumu odhadnutá za zanedbateľnú cenu. Takáto informácia môže byť ďalej použitá pri riešení ill-posed problémov. V práci navrhujeme kritéria pre detekciu iterácie vyjavujúcej šum v Golub-Kahanovej iteračnej bidiagonalizácii. Rozoberáme prítomnosť šumu rôznych farieb. Študujeme, ako strata ortogonality ovplyvní šum vyjavujúcu vlastnosť bidiagonalizácie.
|
|
| |
host ::
RSS.