Original title: Properties of Sobolev Mappings
Translated title: Properties of Sobolev Mappings
Authors: Roskovec, Tomáš ; Hencl, Stanislav (advisor)
Document type: Rigorous theses
Year: 2021
Language: eng
Abstract: [eng] [cze]
We study the properties of Sobolev functions and mappings, especially we study the violation of some properties. In the first part we study the Sobolev Embedding Theorem that guarantees W1,p (Ω) ⊂ Lp∗ (Ω) for some parameter p∗ (p, n, Ω). We show that for a general domain this relation does not have to be smooth as a function of p and not even continuous and we give the example of the domain in question. In the second part we study the Cesari's counterexample of the continuous mapping in W1,n ([−1, 1]n , Rn ) violating Lusin (N) condition. We show that this example can be constructed as a gradient mapping. In the third part we generalize the Cesari's counterexample and Ponomarev's counte- rexample for the higher derivative Sobolev spaces Wk,p (Ω, Rn ) and characterize the validity of the Lusin (N) condition in dependence on the parameters k and p and dimension. 1 V práci se zabýváme vlastnostmi Sobolevovských funkcí a zobrazení s důrazem na porušení některých jejich očekávaných vlastností. V první části studujeme Sobolevovo větu o vnoření, která udává vztah W1,p (Ω) ⊂ Lp∗ (Ω) definovaný parametrem p∗ (p, n, Ω). Na konkrétní konstrukci ukážeme, že pro zcela obecnou oblast tato závislost není coby funkce p hladká a dokonce ani spojitá. V druhé části se zabýváme klasickým Cesariho protipříkladem, spojitým zobrazením v W1,n ([−1, 1]n , Rn ) porušujícím Lusinovu (N) podmínku. Ukážeme konstrukci, že zobrazení těchto vlastností může být gradientem funkce. V třetí části zo- becníme Cesariho a také Ponomarevovu konstrukci pro Sobolevovské prostory s vyšší derivací W1,n ([−1, 1]n , Rn ) a tím charakterizujeme platnost Lusinovy (N) podmínky v těchto prostorech v závislosti na výši derivace, na p a na dimenzi. 1
Keywords: Sobolev space|Sobolev embedding|Lusin (N) condition|Irregular domain; Sobolevův prostor|Sobolevovské vnoření|Lusinova (N) podmínka|irregulární oblast

Institution: Charles University Faculties (theses) (web)
Document availability information: Available in the Charles University Digital Repository.
Original record: http://hdl.handle.net/20.500.11956/127785

Permalink: http://www.nusl.cz/ntk/nusl-448133


The record appears in these collections:
Universities and colleges > Public universities > Charles University > Charles University Faculties (theses)
Academic theses (ETDs) > Rigorous theses