Original title: Objemy jednotkových koulí Lorentzových prostorů
Translated title: Volumes of unit balls of Lorentz spaces
Authors: Doležalová, Anna ; Vybíral, Jan (advisor) ; Lang, Jan (referee)
Document type: Master’s theses
Year: 2019
Language: eng
Abstract: [eng] [cze]
This thesis studies the volume of the unit ball of finite-dimensional Lorentz sequence spaces p,q n . Lorentz spaces are a generalisation of Lebesgue spaces with a quasinorm described by two parameters 0 < p, q ≤ ∞. The volume of the unit ball Bp,q n of a general finite-dimensional Lorentz space was so far an unknown quantity, even though for the Lebesgue spaces it has been well-known for many years. We present the explicit formula for Vol(Bp,∞ n ) and Vol(Bp,1 n ). We also describe the asymptotic behaviour of the n-th root of Vol(Bp,q n ) with respect to the dimension n and show that [Vol(Bp,q n )]1/n ≈ n−1/p for all 0 < p < ∞, 0 < q ≤ ∞. Furthermore, we study the ratio of Vol(Bp,∞ n ) and Vol(Bp n). We conclude by examining the decay of entropy numbers of embeddings of the Lorentz spaces. Tato práce se zabývá objemem jednotkové koule v konečnědimenzionálních Lorentzových prosto- rech p,q n . Lorentzovy prostory jsou zobecnění Lebesguových prostorů s kvazinormou popsanou dvěma parametry 0 < p, q ≤ ∞. Pro objem jednotkové koule v konečnědimenzionálním Lorentzově prostoru doposud neexistoval žádný vzorec, přestože pro Lebesguovy prostory je tato formule známá již mnoho let. Předkládáme explicitní vzorec pro Vol(Bp,∞ n ) a Vol(Bp,1 n ). Popisujeme také asymptotické chování n-té odmocniny Vol(Bp,q n ) vzhledem k dimenzi n a dokazujeme, že [Vol(Bp,q n )]1/n ≈ n−1/p pro všechna 0 < p < ∞, 0 < q ≤ ∞. Dále zkoumáme podíl Vol(Bp,∞ n ) a Vol(Bp n). V závěrečné části se věnujeme poklesu čísel entropie pro vnoření Lorentzových prostorů.
Keywords: entropy numbers; Finite-dimensional bodies; interpolation; Lorentz spaces; volume estimates; interpolace; Konečnědimenzionální tělesa; Lorentzovy prostory; odhady objemů; čísla entropie

Institution: Charles University Faculties (theses) (web)
Document availability information: Available in the Charles University Digital Repository.
Original record: http://hdl.handle.net/20.500.11956/110008

Permalink: http://www.nusl.cz/ntk/nusl-406096


The record appears in these collections:
Universities and colleges > Public universities > Charles University > Charles University Faculties (theses)
Academic theses (ETDs) > Master’s theses