Original title: Varianty Eberhardovy věty
Translated title: Eberhard-Like Theorems
Authors: Šimečková, Zuzana ; Šámal, Robert (advisor) ; Fiala, Jiří (referee)
Document type: Bachelor's theses
Year: 2018
Language: cze
Abstract: [cze] [eng]
Pro nakreslení rovinného grafu definujme posloupnost (pk) = (p3,p4, . . . ) po- čtů k-hranných stěn - k-úhelníků. Důsledkem Eulerova vzorce o rovinných grafech pro kubické grafy splňuje p vztah ∑ k>=3 (6 − k)pk = 12. Je celkem přirozené ptát se, jak vypadají p, pro která existuje odpovídající graf. Eberhard ukázal, že po- kud p splňuje výše uvedenou rovnost, pak existuje rovinný kubický graf, který odpovídá p až na počet šestiúhelníků. DeVos a kol. dokázali obdobu věty, kde je povoleno k p přidat pětiúhelníky a sedmiúhelníky. V této práci na jejich výsledky navazujeme, využijeme jejich důkazové strategie a díky navrženému programu na- jdeme stavební bloky, které autorům k zobecnění věty chyběly. Výsledkem práce je následující věta: pro každou dvojici r,s ∈ N splňující s < 6 < r < 14, s,r nesou- dělné, platí následující věta: pro každou posloupnost p nezáporných celých čísel splňující ∑ k>=3 (6 − k)pk = 12 existuje nekonečně mnoho kubických rovinných grafů, které p odpovídají až na r-úhelníky a s-úhelníky. 1 Define sequence (pk) = (p3,p4, . . . ) as numbers of k-sized faces - k-gons - of an embedding of a planar graph. A corollary to Euler's formula for planar graphs states that for cubic graphs ∑ k>=3 (6 − k)pk = 12 holds. Naturally, this leads us to explore the nature of p for which a corresponding cubic planar graph exists. Eberhard proved that if p satisfies the equality above then a cubic planar graph that corresponds to p except for the number of hexagons, exists. DeVos et al. show similar theorem, but instead of hexagon, both pentagons and heptagons can be added. In this thesis, we extend their result by using their proof strategy and designing a program to find graphs needed in such proof. We were able to prove that for every pair r,s ∈ N where s < 6 < r < 14 and r,s are coprime the following theorem holds: for each sequence of nonnegative integers satisfying ∑ k>=3 (6 − k)pk = 12 there are infinitely many cubic planar graphs corresponding to p except for the number of both r-gons and s-gons. 1
Keywords: graph drawing; planar graphs; kreslení grafů; rovinné grafy

Institution: Charles University Faculties (theses) (web)
Document availability information: Available in the Charles University Digital Repository.
Original record: http://hdl.handle.net/20.500.11956/99724

Permalink: http://www.nusl.cz/ntk/nusl-383922


The record appears in these collections:
Universities and colleges > Public universities > Charles University > Charles University Faculties (theses)
Academic theses (ETDs) > Bachelor's theses