Original title: Kvaterniony a Möbiovy transformace v dimenzi 4
Translated title: Quaternions and Möbius transformations in dimension 4
Authors: Kosina, Jan ; Lávička, Roman (advisor) ; Krump, Lukáš (referee)
Document type: Bachelor's theses
Year: 2012
Language: cze
Abstract: [cze] [eng]
V této práci popisujeme transformace 3-rozměrného a 4-rozměrného Euklei- dovského prostoru. Nejprve ukážeme, jak lze pomocí kvaternionů v těchto dimen- zích elegantně popsat reflexe a rotace a dokážeme 2 strukturní věty o souvislosti grupy jednotkových kvaternionů a speciálních ortogonálních grup SO(3) a SO(4). Dále je vyložena část teorie konformních zobrazení, kterou později využíváme v popisu Möbiových transformací. Möbiovy transformace v dimenzi 4 definujeme jako zobrazení vzniklá složením sudého počtu sférických inverzí a reflexí. Ukáže- me, že je lze i v dimenzi 4 popsat jako lineární lomená zobrazení, podobně jako v dimenzi 2, pokud místo komplexních čísel užíváme kvaterniony. Naznačíme i klasifikaci Möbiových transformací na eliptické, loxodromické a parabolické a v dimenzi 4 popíšeme, jak jednotlivé třídy vypadají. 1 In this work we describe transformations of the 3-dimensional and the 4- dimensional Euclidean space. First we show how one can elegantly describe re- flections and rotations in these dimensions using quaternions and we prove 2 structural theorems concerning the connection between the group of unit qua- ternions and the special orthogonal groups SO(3) and SO(4). Next we recall a part of the conformal mapping theory, which we use later in the description of the Möbius transformations. We define the Möbius transformations in dimension 4 as compositions of an even number of spherical inversions and reflections. We show that one can describe them also in dimension 4 as linear fractional trans- formations in an analogous way as in dimension 2, if we use quaternions instead of complex numbers. We then outline a classification of Möbius transformations into elliptic, loxodromic and parabolic classes and in dimension 4, we describe what each class looks like. 1
Keywords: Möbius transformations; Quaternions; SO(3); SO(4); Kvaterniony; Möbiovy transformace; SO(3); SO(4)

Institution: Charles University Faculties (theses) (web)
Document availability information: Available in the Charles University Digital Repository.
Original record: http://hdl.handle.net/20.500.11956/40283

Permalink: http://www.nusl.cz/ntk/nusl-304589


The record appears in these collections:
Universities and colleges > Public universities > Charles University > Charles University Faculties (theses)
Academic theses (ETDs) > Bachelor's theses