Original title: Stabilita a konvergence numerických výpočtů
Translated title: Stability and convergence of numerical computations
Authors: Sehnalová, Pavla ; Dalík, Josef (referee) ; Horová, Ivana (referee) ; Kunovský, Jiří (advisor)
Document type: Doctoral theses
Language: eng
Publisher: Vysoké učení technické v Brně. Fakulta informačních technologií
Abstract: [eng] [cze]
Tato disertační práce se zabývá analýzou stability a konvergence klasických numerických metod pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Jsou představeny klasické jednokrokové metody, jako je Eulerova metoda, Runge-Kuttovy metody a nepříliš známá, ale rychlá a přesná metoda Taylorovy řady. V práci uvažujeme zobecnění jednokrokových metod do vícekrokových metod, jako jsou Adamsovy metody, a jejich implementaci ve dvojicích prediktor-korektor. Dále uvádíme generalizaci do vícekrokových metod vyšších derivací, jako jsou např. Obreshkovovy metody. Dvojice prediktor-korektor jsou často implementovány v kombinacích modů, v práci uvažujeme tzv. módy PEC a PECE. Hlavním cílem a přínosem této práce je nová metoda čtvrtého řádu, která se skládá z dvoukrokového prediktoru a jednokrokového korektoru, jejichž formule využívají druhých derivací. V práci je diskutována Nordsieckova reprezentace, algoritmus pro výběr proměnlivého integračního kroku nebo odhad lokálních a globálních chyb. Navržený přístup je vhodně upraven pro použití proměnlivého integračního kroku s přístupe vyšších derivací. Uvádíme srovnání s klasickými metodami a provedené experimenty pro lineární a nelineární problémy. The aim of this thesis is to analyze the stability and convergence of fundamental numerical methods for solving ordinary differential equations. These include one-step methods such as the classical Euler method, Runge-Kutta methods and the less well known but fast and accurate Taylor series method. We also consider the generalization to multistep methods such as Adams methods and their implementation as predictor-corrector pairs. Furthermore we consider the generalization to multiderivative methods such as Obreshkov method. There is always a choice in predictor-corrector pairs of the so-called mode of the method and in this thesis both PEC and PECE modes are considered. The main goal and the new contribution of the thesis is the use of a special fourth order method consisting of a two-step predictor followed by an one-step corrector, each using second derivative formulae. The mathematical background of historical developments of Nordsieck representation, the algorithm of choosing a variable stepsize or an error estimation are discussed. The current approach adapts well to the multiderivative situation in variable stepsize formulations. Experiments for linear and non-linear problems and the comparison with classical methods are presented.
Keywords: Adamsovy metody; jednokrokové metody; konvergence; lineární vícekrokové metody; metoda Taylorovy řady; metody prediktor-korektor; Nordsieckova reprezentace; Numerické metody; Obreshkovovy formule; obyčejné diferenciální rovnice; proměnlivý integrační krok.; Runge-Kutta metody; stabilita; vícekrokové metody; Adams methods; convergence; linear multistep methods; multistep methods; Nordsieck representation; Numerical methods; Obreshkov formulae; one-step methods; ordinary differential equations; predictor-corrector pairs; Runge-Kutta methods; stability; Taylor series method; variable stepsize.

Institution: Brno University of Technology (web)
Document availability information: Fulltext is available in the Brno University of Technology Digital Library.
Original record: http://hdl.handle.net/11012/63251

Permalink: http://www.nusl.cz/ntk/nusl-261248


The record appears in these collections:
Universities and colleges > Public universities > Brno University of Technology
Academic theses (ETDs) > Doctoral theses