|
|
Numerické řešení modelů dopravních toků
Vacek, Lukáš ; Kučera, Václav (vedoucí práce) ; Janovský, Vladimír (oponent)
Naše práce popisuje simulaci dopravních toků na silničních sítích. Ty jsou popsány parciálními diferenciálními rovnicemi. Pro numerické řešení našich modelů používáme nespojitou Galerkinovu metodu v prostoru a vícekrokovou metodu v čase. Tato kombinace metod je pro aplikaci na sítě unikátní a vede na robustní numerické schéma. Pro modelování dopravního toku používáme několik různých přístupů. Náš výsledný program tak musí umět řešit jak skalární problémy, tak i systémy o více neznámých, popsaných parciálními diferenciálními rovni- cemi prvního i druhého řádu. Výstupem programu je zejména vývoj hustoty do- pravy v čase a v 1D prostoru. Jelikož se jedná o fyzikální veličinu, zavádíme limitery, které udržují hustotu v přípustném intervalu. Limitery dále zabraňují vytvoření oscilací v numerickém řešení. To vše probíhá na dopravních sítích. Musíme tak řešit situaci na křižovatkách, která není běžná. Hlavní úkol je, aby stále platil zákon zachování celkového počtu vozidel projíždějících křižovatkou. Toho dosáhneme pomocí modifikace numerického toku pro křižovatky. Výsledkem této práce je srovnání všech modelů, demonstrace výhod použití metody nespo- jitého...
|
|
|
Numerical solution of convection-diffusion problems by discontinuous Galerkin method
Vlasák, Miloslav ; Dolejší, Vít (vedoucí práce) ; Janovský, Vladimír (oponent) ; Vejchodský, Tomáš (oponent)
This work is concerned with the theoretical analysis of the discontinuous Galerkin finite element method. We use a discontinuous Galerkin formulation for a scalar convection-diffusion equation with nonlinear convective term. The resulting semidiscretized equations with symmetric (SIPG) or nonsymmetric (NIPG) diffusive term are then discretized in time by Backward Differential formulae (BDF), implicit Runge-Kutta methods and Time discontinuous Galerkin. All of these schemes are linearized by a suitable explicit extrapolations to avoid nonlinearity in the convective term. These final schemes are theoretically analyzed and error estimates are derived. We also present some superconvergence result for Time discontinuous Galerkin for nonsymmetric operator. Numerical experiments verify the theoretical results.
|
|
|
Periodic solutions of ordinary differential equations
Mitro, Erik ; Janovský, Vladimír (vedoucí práce) ; Felcman, Jiří (oponent)
V práci sa zaoberáme periodickými riešeniami obyčajných diferenciálnych rovníc a skúmaním ich stability. Obmedzujeme sa predovšetkým na skalárne diferenciálne rovnice. Prvá kapitola je venovaná stabilite periodických riešení, ktorá súvisí s Poincareho mapou. Cieľom je rozhodnúť o asymptotickej stabilite/nestabilite pevného bodu Poincareho mapy. K tomu potrebujeme vypočítať prvú deriváciu Poncareho mapy, poprípade derivácie vyšších rádov. V druhej kapitole si zadefinujeme pojem bifurkácia a preskúmame populačný model. V tretej kapitole sa krátko zmienime o Van der Polovom oscilátore tj. systéme dvoch rovníc. Celú teóriu ilustrujeme na príkladoch.
|
|
|
Filippovovy dynamické systémy a jejich aplikace
Šimonová, Dorota ; Janovský, Vladimír (vedoucí práce) ; Ratschan, Stefan (oponent)
Práce je motivována problémy kontaktní mechaniky, především modely tření. V první kapitole si zavedeme pojmy potřebné k analyzování Filippovových systémů, což jsou systémy popsané speciálním případem obyčejných diferenciálních rovnic s nespojitou pravou stranou. Ukážeme též software k jejich řešení. Ostatní kapitoly jsou věnovány aplikacím, jde především o analyzování modelů suchého zipu a modelu kontaktu elastického tělesa s tuhou podložkou s jedním kontaktním uzlem, kterému se říká model Coulombova tření. Při řešení druhého zmíněného modelu je nutno kombinovat software pro řešení Filippovových systémů a impaktních oscilátorů. Výsledky analýzy modelu Coulombova tření jsou původní. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Numerická optimalizace
Márová, Kateřina ; Janovský, Vladimír (vedoucí práce) ; Lukšan, Ladislav (oponent)
Práce se věnuje metodám numerické optimalizace bez omezení, konkrétně výkladu metod, jež nevyžadují existenci derivací účelové funkce o více proměnných. Sedm nejznámějších algoritmů, rozdělených do tří skupin, je popsáno a implementováno v jazyce MATLAB. Optimalizace ve směrech souřadnicových os a Hooke-Jeevesova metoda jsou zástupci jednoduchých "pattern search" metod. Rodina simplexových metod obsahuje Spendley-Hext-Himsworthův algoritmus a Nelder-Meadův algoritmus. Metody s proměnnými směry vyhledávání jsou tři: Rosenbrockova, Davies-Swann- Campeyho a Powellova. Všechny metody jsou následně testovány na třech předem vybraných funkcích dvou proměnných. Postup výpočtů je kvantitativně i kvalitativně analyzován a názorně graficky ilustrován. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Model korupce v demokratické společnosti
Splítek, Martin ; Janovský, Vladimír (vedoucí práce) ; Mlčoch, Lubomír (oponent)
Cílem této práce je zkoumat chování závažného společenského jevu - korupce, a to prostřednictvím matematického modelu korupce v demokratické společnosti publikovaného v [1]. Jedná se o dynamický systém zadaný soustavou tří obyčejných diferenciálních rovnic, které závisí na třech proměnných a deseti parametrech. Model je zkoumán prostředky numerické analýzy, konkrétně me- todou numerické integrace soustav obyčejných diferenciálních rovnic a metodou numerické kontinuace. K tomu byl využit toolbox Matcont [2], který pracuje v prostředí programu MATLAB [3]. Výsledkem práce je komentovaná parametrická studie fenoménu korupce. Klíčová slova: obyčejné diferenciální rovnice, dynamické systémy, bifurkační analýza 1
|
|
|
Stacionární stavy dynamických systémů
Šerý, David ; Janovský, Vladimír (vedoucí práce) ; Vlasák, Miloslav (oponent)
V práci se zabýváme kvalitativními vlastnostmi řešení diferenciálních rovnic v okolí stacionárních stavů. Stěžejní kapitola se týká planárních rovnic. Klíčovým pojmem je stabilita stacionárního bodu. Analýza stability úzce souvisí s linea- rizací, která ale v mnohých případech nestačí. Tehdy může pomoci např. Lja- punovova funkce. Zavedeme pojmy stabilní a nestabilní varieta, báze atrakce a topologická ekvivalence rovnic a nastíníme jejich důležitost v kvalitativní analýze. Teorii ilustrujeme na mnoha příkladech. V třetí kapitole se krátce zmíníme o nu- merické kontinuaci aplikované na hledání stacionárních stavů rovnice závislé na parametru λ. 1
|
|
|
Matematické modely ekosystémů
Scholle, David ; Janovský, Vladimír (vedoucí práce) ; Kofroň, Josef (oponent)
Tato práce pojednává o modelech populačního vývoje v různých situacích. Na základě modelů dynamických systémů budeme nejdříve zkoumat stav pavouků a hmyzu v oblasti Langa Astigiana a dopad využití postřiků na blízkých vinicích na tento ekosystém. Úkolem práce je také ověřit možnost výskytu periodických cyklů, tedy Hopfovy bifurkace. Další částí práce je model včelího úlu a zkoumání vlivu insekticidů na populaci dělnic a trubců. V poslední kapitole je cílem práce zkoumat efektivitu a možný dopad lidského zásahu v šumavských lesích. Model bude ověřovat nutnost takovému zákroku proti škůdcům. K těmto úkolům budeme využívat numerických výpočtů, především v kontinuačním balíčku MatCont, jenž je součástí programu MatLab.
|
|
|
Numerical solution of equations describing the dynamics of flocking
Živčáková, Andrea ; Kučera, Václav (vedoucí práce) ; Janovský, Vladimír (oponent)
V tejto práci sa venujeme numerickému riešeniu rovníc popisujúcich dynamiku kŕdľov (hejn) vtákov, takzvaný flocking. Konkrétne venujeme pozornosť systému Eulerových rovníc pre stlačiteľné prúdenie s korekciou pravej strany. Tento model vychádza z práce Fornasier et al. (2010). Pre komplikovanosť modelu sa zameriavame len na jednodimenzionálny prípad. K numerickému riešeniu používame semi- implicitnú nespojitú Galerkinovú metódu. Diskretizáciu pravej strany volíme tak, aby sme zachovali štruktúru semi-implicitnej schémy pre Eulerove rovnice predstavenej v práci Feistauer, Kučera (2007). Navrhnutá numerická schéma bola implementovaná a boli vykonané numerické experimenty, ktoré preukázali robustnosť schémy. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic
Monhartová, Petra ; Feistauer, Miloslav (vedoucí práce) ; Janovský, Vladimír (oponent)
V předložené práci studujeme numerické metody pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními podmínkami. Pomocí Tay- lorova vzorce odvodíme některé jednokrokové numerické metody. Srovnáme numerická řešení vypočítaná pomocí explicitní Eulerovy metody a impli- citní Eulerovy metody. Budeme se zabývat Rungeovo-Kuttovými metodami 2. a 4. řádu. Zjistíme, jak přesně řešení získané pomocí těchto metod aproxi- muje přesné řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Dále studujeme odhady chyby těchto numerických řešení obyčejných diferenciálních rovnic pomocí metody polovičního kroku. 1
|
host ::
RSS.