|
|
Numerické řešení nelineárních problémů konvekce-difuze pomocí adaptivních metod
Roskovec, Filip ; Vlasák, Miloslav (vedoucí práce) ; Feistauer, Miloslav (oponent)
Tato práce se zabývá analýzou a implementací Časově nespojité Galerkinovy metody. Významnou součástí této práce je vytvoření algoritmu zaměřeného na řešení nelineárních rovnic konvekce-difůze, který kombinuje Nespojitou Galerkinovu metodu v prostoru s Časově nespojitou Galerkinovou metodou. Tento přístup přináší snadno docílitelnou adaptivitu i vysoký řád aproximace vzhledem k prostorovým i časovým proměnným. Nelinearita problému je překonávána pomocí tlumené zobecněné Newtonovy metody. Druhá část práce se zaměřujeme na Časově nespojitou Galerkinovu metodu pro obyčejné diferenciální rovnice. Ukazuje, že řešení Časově nespojité Galerkinovy metody se shoduje s řešením získaným pomocí implicitních Radau IIA Runge-Kuttových metod v uzlech pravé Radauovy kvadratury. Díky tomuto vztahu je možno získat v těchto bodech odhady chyby řádu o jedna vyššího než je standartní řád. Kromě toho může být dosažen téměř dvojnásobný řád chyby v koncových bodech intervalů časového dělení. Nakonec se práce zabývá fenoménem tuhosti (stiffness), který může dramaticky snižovat řád konvergence použité metody. Teoretické výsledky potvrzují numerické experimenty. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Stacionární stavy dynamických systémů
Šerý, David ; Janovský, Vladimír (vedoucí práce) ; Vlasák, Miloslav (oponent)
V práci se zabýváme kvalitativními vlastnostmi řešení diferenciálních rovnic v okolí stacionárních stavů. Stěžejní kapitola se týká planárních rovnic. Klíčovým pojmem je stabilita stacionárního bodu. Analýza stability úzce souvisí s linea- rizací, která ale v mnohých případech nestačí. Tehdy může pomoci např. Lja- punovova funkce. Zavedeme pojmy stabilní a nestabilní varieta, báze atrakce a topologická ekvivalence rovnic a nastíníme jejich důležitost v kvalitativní analýze. Teorii ilustrujeme na mnoha příkladech. V třetí kapitole se krátce zmíníme o nu- merické kontinuaci aplikované na hledání stacionárních stavů rovnice závislé na parametru λ. 1
|
|
| |
|
|
Odhady algebraické chyby a zastavovací kritéria v numerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic
Papež, Jan ; Strakoš, Zdeněk (vedoucí práce) ; Vlasák, Miloslav (oponent)
Název práce: Odhady algebraické chyby a zastavovací kritéria v numerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic Autor: Jan Papež Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc. Abstrakt: Po uvedení modelového problému a jeho vlastností je v práci popsána metoda sdružených gradientů (Conjugate Gradient Method - CG), jsou uvedeny odhady energetické normy chyby a je navržena heuristika pro adaptivní zpřesňování odhadů ve výpočtech. Na konkrétních příkladech je ukázán rozdíl v lokálním chování algebraické a diskretizační chyby v nume- rickém řešení modelového problému. Dále jsou uvedeny a posteriori odhady diskretizační a celkové chyby, které zahrnují chybu řešení algebraické sou- stavy. Myšlenka použití více sítí při řešení modelového problému je ukázána na víceúrovňové metodě (multigrid method). Poté je popsána Deuflhardova metoda Cascadic Conjugate Gradient Method (CCG), pro kterou jsou odvo- zena nová zastavovací kritéria s využitím odhadů algebraické a diskretizační chyby popsaných v předchozích částech předložené práce. Na závěr je metoda CCG s novými zastavovacími kritérii testována. Klíčová slova: numerické řešení parciálních...
|
|
|
Superkonvergence pro časové diskretizace pomocí nespojité Galerkinovy metody
Roskovec, Filip ; Vlasák, Miloslav (vedoucí práce) ; Knobloch, Petr (oponent)
Tématem této práce je teoretická analýza nespojité Galerkinovy metody pro časoprostorové diskretizace jednoduchých nestacionárních úloh. Narozdíl od standartní Metody konečných prvků (FEM) nevyžaduje nespojitá Galerkinova metoda spojitost přibližného řešení mezi sousedními prvky triangulace. Nespojitou Galerkinovu metodu aplikujeme zvlášť v čase a v prostoru. Nejprve diskretizujeme prostorovou část úlohy, a získáme tak prostorovou semidiskretizaci. Na semidiskrétní problém následně aplikujeme Časově nespojitou Galerkinovu metodu. Aproximaci řešení pak hledáme v prostoru nespojitých po částech polynomiálních funkcí stupně p a q v prostorové, respektive časové proměnné. Následuje analýza chyb tohoto schématu. Nakonec se věnujeme superkonvergenci schématu v uzlových bodech časové diskretizace. Numerické výpočty potvrzují teoretické výsledky.
|
|
| |
|
| |
host ::
RSS.