|
|
Problém tří jezer
Šulc, Dominik ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce) ; Vejnar, Benjamin (oponent)
Cílem této práce je nalezení řešení problému tří jezer a podrobný d·kaz jeho správnosti. Problém tří jezer (Lakes of Wada) je úloha, která spočívá v sestrojení tří otevřených souvislých množin v rovině, které se neprotínají a mají společnou hranici. Ukážeme, že takové množiny existují a že kromě uvedených vlastností mohou být dokonce obloukově souvislé. 1
|
|
|
Metoda Lagrangeových multiplikátorů ve variačním počtu
Borák, Vojtěch ; Černý, Robert (vedoucí práce) ; Hencl, Stanislav (oponent)
Tato práce řeší několik základních příkladů z variačního počtu a demonstruje prospěšnost zamyšlení se a případné pozměnění úlohy bez snížení dimenze za přítomnosti vazeb. Všechny úlohy jsou řešeny metodou Lagrangeových multipli- kátorů. Především v konečné dimenzi demonstruje hypotézu autora ohledně ne- snižování dimenze problému klasifikace definitnosti diferenciální formy druhých derivací a ukazuje jednak příklad, ve kterém je autorův nápad prospěšný, i pří- klad, kde svádí na scestí. 1
|
|
|
Entropy numbers
Kossaczká, Marta ; Vybíral, Jan (vedoucí práce) ; Hencl, Stanislav (oponent)
V této práci studujeme čísla entropie lineárních operátorů . Zaměřujeme se na čísla entropie identit mezi reálnými konečnědimenzionálními prostory, a prezentujeme podrobné důkazy jejich odhadů.Poté popíšeme vztah mezi čísly entropie identit mezi reálnými prostory a mezi komplexními prostory, což nám umožňuje vytvořit podobné odhady pro komplexní prostory. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Properties of Sobolev Mappings
Roskovec, Tomáš ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce)
V práci se zabýváme vlastnostmi Sobolevovských funkcí a zobrazení s důrazem na porušení některých jejich očekávaných vlastností. V první části studujeme Sobolevovo větu o vnoření, která udává vztah W1,p (Ω) ⊂ Lp∗ (Ω) definovaný parametrem p∗ (p, n, Ω). Na konkrétní konstrukci ukážeme, že pro zcela obecnou oblast tato závislost není coby funkce p hladká a dokonce ani spojitá. V druhé části se zabýváme klasickým Cesariho protipříkladem, spojitým zobrazením v W1,n ([−1, 1]n , Rn ) porušujícím Lusinovu (N) podmínku. Ukážeme konstrukci, že zobrazení těchto vlastností může být gradientem funkce. V třetí části zo- becníme Cesariho a také Ponomarevovu konstrukci pro Sobolevovské prostory s vyšší derivací W1,n ([−1, 1]n , Rn ) a tím charakterizujeme platnost Lusinovy (N) podmínky v těchto prostorech v závislosti na výši derivace, na p a na dimenzi. 1
|
|
|
Measures of non-compactness of Sobolev embeddings
Bouchala, Ondřej ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce)
Míra nekompaktnosti operátoru je definována pro libovolný spojitý operátor T : X Y mezi dvěma Banachovými prostory X a Y jako β(T) := inf { r > 0: T(BX) je možné pokrýt konečně mnoha koulemi o poloměru r } . Jednoduše se dá ukázat, že 0 ≤ β(T) ≤ ∥T∥ a že β(T) = 0, právě když je T kompaktní operátor. Ve svém článku můj vedoucí prof. Stanislav Hencl dokázal, že pro známé vnoření W k,p 0 (Ω) → Lp∗ (Ω), kde kp je menší než dimenze, platí, že jeho míra nekompaktnosti se rovná jeho normě. V této práci dokazujeme, že za jistých předpokladů je míra nekompakt- nosti vnoření jednoho prostoru funkcí do druhého rovna jeho normě. Toto tvrzení použijeme na zobecnění zmíněného výsledku pro případ Lorentzo- vých prostorů. Konkrétně ukážeme, že míra nekompaktnosti vnoření Wk 0 Lp,q (Ω) → Lp∗,q (Ω) je pro vhodná p a q rovna jeho normě. 1
|
|
|
Diferencovatelnost inverzního zobrazení
Konopecký, František ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce)
V práci dokazujeme výsledek, že pokud pro ∈ ℕ a ≥ 1 bilipschitzovské zobrazení náleží do +1, loc ∩ ,∞ loc , tak náleží do +1, loc i jeho inverze −1 . Obdobné tvrzení dokazujeme i pro prostory loc. K tomuto účelu je v práci vybudováno nové uspořádání -tých parciálních derivací do zobecněné Jakobiho matice, díky níž můžeme vhodně deri- vovat matice. Zobecněná Jakobiho matice je navržena tak, aby bylo zachováno řetízkové pravidlo a bylo možné derivovat i součin matic. 1
|
|
|
Properties of mappings of finite distortion
Campbell, Daniel ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce)
In the following thesis we will be mostly concerned with questions related to the regularity of solutions to non-linear elasticity models in the calculus of variations. An important step in this is question is the approximation of Sobolev homeomorphisms by diffeomorphisms. We refine an approximation result of Hencl and Pratelli's which, for a given planar Sobolev (or Sobolev-Orlicz) homeomorphism, constructs a diffeomorphism arbitrarily close to the original map in uniform convergence and in terms of the Sobolev-Orlicz norm. Further we show, in dimension 4 or higher, that such an approximation result cannot hold in Sobolev spaces W1,p where p is too small by constructing a sense-preserving homeomorphism with Jacobian negative on a set of positive measure. The class of mappings referred to as mappings of finite distortion have been proposed as possible models for deformations of bodies in non-linear elasticity. In this context a key property is their continuity. We show, by counter-example, the surprising sharpness of the modulus of continuity with respect to the integrability of the distortion function. Also we prove an optimal regularity result for the inverse of a bi-Lipschitz Sobolev map in Wk,p and composition of Lipschitz maps in Wk,p comparable with the classical inverse mapping theorem. As a...
|
|
|
Prostor vyplňující křivky
Štěpánek, Adam ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce) ; Pyrih, Pavel (oponent)
Peanovi křivky jsou spojitá zobrazení z jednotkového intervalu [0, 1] na n-dimenzionální čtverec [0, 1]n , n ∈ N. Takových křivek je mnoho a proto se v této práci zaměříme zejména na Hilbertovu křivku. Neformálně naznačíme její geometrickou interpretaci a poté se budeme věnovat konstrukci v R2 pomocí zápisu čísla ve čtyřkové soustavě. Pro takto zadefinované zobrazení dokážeme, že jde o křivku Peanova typu, a že je 1/2 - Höl- derovsky spojitá. V závěru s využitím Haussdorfovy dimenze ukážeme, že neexistuje Peanova křivka v Rn , která by byla zároveň α - Hölderovsky spojitá pro α > 1/n. 1
|
|
|
Measures of non-compactness of Sobolev embeddings
Bouchala, Ondřej ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce)
Míra nekompaktnosti operátoru je definována pro libovolný spojitý operátor T : X Y mezi dvěma Banachovými prostory X a Y jako β(T) := inf { r > 0: T(BX) je možné pokrýt konečně mnoha koulemi o poloměru r } . Jednoduše se dá ukázat, že 0 ≤ β(T) ≤ ∥T∥ a že β(T) = 0, právě když je T kompaktní operátor. Ve svém článku můj vedoucí prof. Stanislav Hencl dokázal, že pro známé vnoření W k,p 0 (Ω) → Lp∗ (Ω), kde kp je menší než dimenze, platí, že jeho míra nekompaktnosti se rovná jeho normě. V této práci dokazujeme, že za jistých předpokladů je míra nekompakt- nosti vnoření jednoho prostoru funkcí do druhého rovna jeho normě. Toto tvrzení použijeme na zobecnění zmíněného výsledku pro případ Lorentzo- vých prostorů. Konkrétně ukážeme, že míra nekompaktnosti vnoření Wk 0 Lp,q (Ω) → Lp∗,q (Ω) je pro vhodná p a q rovna jeho normě. 1
|
|
|
Properties of mappings of finite distortion
Campbell, Daniel ; Hencl, Stanislav (vedoucí práce) ; Koskela, Pekka (oponent) ; Mora Corral, Carlos (oponent)
In the following thesis we will be mostly concerned with questions related to the regularity of solutions to non-linear elasticity models in the calculus of variations. An important step in this is question is the approximation of Sobolev homeomorphisms by diffeomorphisms. We refine an approximation result of Hencl and Pratelli's which, for a given planar Sobolev (or Sobolev-Orlicz) homeomorphism, constructs a diffeomorphism arbitrarily close to the original map in uniform convergence and in terms of the Sobolev-Orlicz norm. Further we show, in dimension 4 or higher, that such an approximation result cannot hold in Sobolev spaces W1,p where p is too small by constructing a sense-preserving homeomorphism with Jacobian negative on a set of positive measure. The class of mappings referred to as mappings of finite distortion have been proposed as possible models for deformations of bodies in non-linear elasticity. In this context a key property is their continuity. We show, by counter-example, the surprising sharpness of the modulus of continuity with respect to the integrability of the distortion function. Also we prove an optimal regularity result for the inverse of a bi-Lipschitz Sobolev map in Wk,p and composition of Lipschitz maps in Wk,p comparable with the classical inverse mapping theorem. As a...
|
host ::
RSS.