|
|
Singular points of algebraic varieties
Vančura, Jiří ; Příhoda, Pavel (vedoucí práce) ; Šťovíček, Jan (oponent)
Tato práce je úvodem do zkoumání sigularit alebraických variet. V první kapitole uvádíme základní definice a věty pro zkoumání singularit. Nejprve definujeme algebraické variety a jim odpovídající ideály, také vysvětlujeme pojem Krullovy dimenze. Dále se zaměřujeme na lokální vlastnosti variet. Ve druhé kapitole nejprve detailně rozebíráme pojem singularity, uvádíme metody, pomocí kterých můžeme singularity hledat. Poté dokážeme dvě tvrzení o tvaru a dimenzi singularit. Ve druhé části dokazujeme některá tvrzení o dělitelých nuly, ta nám umožní definovat Cohen-Macaulayovy a Gorensteinovy okruhy. Pomocí nich pak hrubě klasifikujeme singularity algebraických variet.
|
|
|
Řešení soustav rovnic nad komutativními okruhy
Seidl, Jan ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
Předmětem této práce je nabídnout algoritmus, jakým se dají řešit soustavy lineárních rovnic Ax=b nad okruhy hlavních ideálů. Dokážeme, že ke každé nenulové matici nad okruhem hlavních ideálů existuje její Smithův tvar. Užitím Smithova tvaru převedeme danou soustavu do jednoduché diagonální podoby a ukážeme, jak z řešení soustavy v této diagonální podobě lze získat řešení původní soustavy. Celý postup demonstrujeme na příkladech pro okruhy Z, Zm a Q[x]. Následně předvedeme, jak je možné algoritmus pro jednotlivé okruhy implementovat v programu Mathematica. Práce by měla také poskytnou postup, podle kterého by nemělo být obtížné modi- fikovat algoritmus tak, aby bylo možné získat řešení soustav i pro jiné okruhy. 1
|
|
|
Gröbnerovy báze v kryptografii
Hubáček, Pavel ; Stanovský, David (vedoucí práce) ; Šťovíček, Jan (oponent)
Předložené práce studuje využití Grobnerových bází v kryptografii, a to speciálně při kryptoanalýze blokový šifer. Nejprve seznamujeme se základními pojmy teorie Grobnerových bází a metodou pro jejich nalezení, kterou je Buchbergerův algoritmus. Je vysvětlen princip řešení soustav polynomiálních rovnic pomocí vhodných Grobrenových bází. Následně je věnována pozornost moderním algoritmům pro nalezení Grobnerovy báze, jež Buchbergerův algoritmus vylepšují. V poslední části jsou shrnuty dosavadní výsledky dosažené v kryptografii pomocí metod založených na Grobnerových bázích a je představen pojem algebraické kryptoanalýzy. Ta převádí problém prolomení kryptosystému na problém nalezení řešení soustavy polynomiálních rovnic nad konečným tělesem. Na příkladech je vysvětleno jak konstruovat soustavy polynomů více proměnných popisující blokové šifry a jsou prezentovány výsledky praktických pokusů s takovými soustavami.
|
|
|
Aplikace Gröbnerových bází v kryptografii
Fuchs, Aleš ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Žemlička, Jan (oponent)
Název práce: Aplikace Gröbnerových bází v kryptografii Autor: Aleš Fuchs Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Mgr. Jan Št'ovíček Ph.D., Katedra algebry Abstrakt: V této práci studujeme přípustná uspořádání a postupy redukce polynomu množinou jiných polynomů v prostředí polynomiálních okruhů nad konečnými tělesy. Zde hrají významnou roli Gröbnerovy báze nějakého ideálu, které díky svým vlastnostem umožňují řešit problém náležení do daného ideálu. Zkoumáme také vlastnosti takzvaných redukovaných Gröbnerových bází, které jsou pro daný ideál jednoznačně určené a v jistém ohledu mi- nimální. Dále se zabýváme rozšířením této teorie do prostředí volných alge- ber nad konečnými tělesy, kde proměnné nekomutují. Na rozdíl od prvního případu zde Gröbnerovy báze mohou být nekonečné i pro konečně generované oboustranné ideály. V poslední kapitole uvádíme asymetrický kryptosystém Polly Cracker založený právě na problému náležení do ideálu jak v komuta- tivní, tak v nekomutativní teorii. Zkoumáme známé metody kryptoanalýzy aplikované na tyto systémy a v několika případech i opatření, která útokům předchází. Souhrn opatření aplikujeme v poslední části věnované návrhům...
|
|
|
Nekomutativní Gröbnerovy báze
Požárková, Zuzana ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Stanovský, David (oponent)
V předložené práci definujeme nekomutativní Gröbnerovy báze, včetně potřebných základů nekomutativní algebry a pojmu přípustné uspořádání. Je zde představena nekomutativní varianta Buchbergerova algoritmu a podrobně studována vylepšení vedoucí k efektivnímu výpočtu. Studium netriviálních obstrukcí nás přivádí k analogii Gebauer-Möller kritérií vedoucích k odstranění většině nadbytečných obstrukcí v nekomutativním případě. Uvádíme zde grafickou interpretaci obstrukcí. Vylepšení algoritmu lze také dosáhnout pomocí redundantních polynomů. Tato práce je shrnutím a zpřesněním výsledků některých známých autorů zabývajících se touto problematikou. V práci definované pojmy jsou ilustrovány na příkladech. Předkládáme zde důkazy některých tvrzení, která byla odlišným způsobem dokázána jinými autory. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
| |
|
|
Smartův algoritmus
Sladovník, Tomáš ; Příhoda, Pavel (vedoucí práce) ; Šťovíček, Jan (oponent)
Problém diskrétního logaritmu je jedním z pilířů asymetrické kryp- tografie a jeho použití na eliptických křivkách nad konečným prvočíselným tělesem se jeví jako velice efektivní. Tato práce se zabývá jeho řešením na eliptických křivkách, jejichž velikost je rovna velikosti onoho tělesa. Cílem této práce je se- stavit funkční algoritmus, který bude schopen řešit tento problém v lineárním čase podle počtu grupových operací a ověřit jeho správnost. K vytvoření algo- ritmu je potřeba pracovat s p-adickými čísly, zavést základy teorie formálních grup, formálního logaritmu a zavést podgrupy eliptických křivek nad p-adickými čísly. Ukáže se, že použití tohoto typu křivek je pro kryptografické účely naprosto nevhodné, a že tyto křivky nejsou bezpečné. 1
|
|
|
Vysoké okruhy
Penk, Tomáš ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Šťovíček, Jan (oponent)
Perfektní a max okruhy jsou známy přes padesát let. Jejich teorie se stále intenzivně studuje. Podmínky, které je definují, jsou přitom zajímavé hlavně při studiu modulů, které nejsou noetherovské. V této práci nejprve shrneme základní poznatky o okruzích a modulech, přičemž se předpokládají předchozí znalosti pouze na úrovni základního kurzu. Poté, co shrneme některé elementární výsledky týkající se noetherovských modulů, budeme připraveni na definici vysokých modulů a vysokých okruhů. Dále ukážeme, že jsou v určitém směru zobecněním perfektních a max okruhů. Uvedeme některé příklady vysokých a nevysokých okruhů, přičemž se podrobněji zaměříme na komutativní okruhy. Poznatky, které tak získáme, se pokusíme zobecnit a využít je při hledání některých nutných a některých postačujících podmínek pro to, abychom o komutativním okruhu mohli prohlásit, zda je či není vysoký. Na závěr ukážeme, že pro noetherovské komutativní okruhy jsou tyto podmínky navzájem ekvivalentní, a dávají tak k pojmu vysoký okruh ekvivalentní charakterizaci.
|
|
|
Grupové okruhy v teorii kódů
Horáček, Jan ; Žemlička, Jan (vedoucí práce) ; Šťovíček, Jan (oponent)
Tato práce se zabývá lineárními samoopravnými kódy v grupovém okruhu. Je podán základní úvod do grupových okruhů a do kódování v grupových okruzích. Kód chápeme jako R-podmodul, což je zobecnění definice kódu jako ideálu. Popíšeme kódy odvozené od invertibilního prvku a od dělitele nuly. Provedeme testování parametrů kódu odvozených od invertibilního prvku. Vysvětlíme konstrukci LDPC kódů bez krátkých kružnic. Kromě určení generující a kontrolní matice kódů je kladen důraz na algebraické vlastnosti kódů a grupových okruhů. Zabýváme se také samoduálními kódy, reverzními kódy nebo počtem invertibilních prvků konečné grupové algebry cyklické grupy. 1
|
|
|
Modulární a p-adické kódy
Sobotka, Miloslav ; Šťovíček, Jan (vedoucí práce) ; Příhoda, Pavel (oponent)
Název práce: Modulární a p-adické kódy Autor: Bc. Miloslav Sobotka Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Šťovíček, Ph.D., Katedra algebry, MFF UK Abstrakt: Cílem práce bylo studium modulárních kódů nad okruhy Zpe a kódů p-adických. Motivací byla představa posloupnosti kódů nad do sebe vnořenými okruhy Zpe , kdy kódy nad menšími okruhy mají tu vlastnost, že je lze získat z kódu nad vyšším okruhem operací modulo. Naopak při budování této posloup- nosti volíme zdvihy tak, aby tato podmínka zůstala zachována. Tento koncept vede k celé řadě otázek týkajících se kvality zdvižených, či řekněme snížených kó- dů, od zachování parametrů kódů, přes samodualitu a cykličnost až po studium chování váhového výčtu. Klíčová slova: modulární kód, p-adický kód, teorie invariantů, váhový výčet, MacWilliamsové identita Title: Modular and p-adic codes Author: Bc. Miloslav Sobotka Department: Department of Algebra Supervisor: RNDr. Jan Šťovíček, Ph.D., Department of Algebra, MFF UK Abstract: The aim of this thesis was to study modular codes over rings Zpe and p-adic codes. The motivation was the idea of a sequence of codes over nested rings Zpe , where the codes over smaller rings are obtained from the codes over larger rings using the modulo operation. Conversely, when constructing such a sequence we choose...
|
host ::
RSS.