|
|
Algebraic Tools in Combinatorial Geometry and Topology
Bulavka, Denys ; Tancer, Martin (vedoucí práce) ; Benedetti, Bruno (oponent) ; Holmsen, Andreas (oponent)
V této práci se zabýváme kombinatorickými problémy optikou Grassmanovy alge- bry. Tato algebra je přirozenou matematickou strukturou pro modelování množinových systémů i simpliciálních komplexů. Umožňuje navíc převést operace z kombinatorických struktur do Grassmanovy algebry. Například operace jako množinový průnik nebo stan- dardní hraniční operátor z topologie. To nám často umožňují převést kombinatorický problém na problém týkající se dimenze určitého vektorového prostoru, což se může uká- zat jako jednodušší přístup, protože poté můžeme zkoumat dimenzi vektorového prostoru pomocí lineárních zobrazení. Takový přístup uplatňujeme i v této práci. V první části zkoumáme problém slabé saturace, který zavedl Bollobás v 60. letech. Jedná se o následující problém. Pro zadaný "hostitelský" graf F a "vzorový" graf H je potřeba určit minimální počet "nakažených" hran grafu F, se kterými je třeba začít, aby se infekce rozšířila na celý hostitelský graf F podle vzorového grafu H. Konkrétně nás zajímá případ, kdy hostitelské i vzorové grafy jsou úplné uniformní multipartitní hypergrafy. Dále se zabýváme zobecněním Hellyho věty, která se týká průsečíkových struktur kon- vexních množin. Konkrétně se ptáme na následující otázku. Je-li zadán konečný systém konvexních množin v Rd rozdělených do d+1 tříd barev tak, že...
|
host ::
RSS.