|
|
Autonomous systems of differential equations - classical vs fractional ones
Glozigová, Anna ; Zatočilová, Jitka (referee) ; Nechvátal, Luděk (advisor)
Hlavním zaměřením této práce je hlubší studium a porovnání dvou oblastí diferenciálních rovnic, kde důraz je kladen na neceločíselné řády, neboť během posledních desítek let se tato oblast nejenže stala populární, ale dokonce bylo zjištěno, že standardní přístupy řešení nenaplňují očekávání, tudíž jsou vyžadovány speciální postupy. Práce také obsahuje příklady, experimenty a simulaci pro ověření, případné vyvrácení teoretických výsledků.
|
|
|
Applications of fractional calculus in control theory
Kiša, Daniel ; Nechvátal, Luděk (referee) ; Kisela, Tomáš (advisor)
Tato bakalářská práce se zabývá matematickou teorií zlomkového kalkulu a jeho aplikacemi v oblasti teorie řízení. V první části jsou uvedeny základy řízení lineárních časově invariantních systémů, a jsou dále diskutovány tři klasické úlohy, a to určení stability, řiditelnosti a pozorovatelnosti. V druhé části je zaveden Riemann-Liouvillův a Caputův diferintegrál a jsou formulovány výše zmíněné problémy pro lineární časově invariantní systém zlomkého řádu. Opět jsou diskutována řešení a jejich odvození.
|
|
|
Numerical methods of solving fractional differential equations
Kyjovský, Adam ; Zatočilová, Jitka (referee) ; Nechvátal, Luděk (advisor)
This bachelor's thesis deals with numerical methods of solving fractional differential equations. Some fundamental notions of fractional calculus and basic results from the theory of fractional differential equations (such as existence and uniqueness of the solution to an initial value problem with the Caputo derivative) are presented. Further, a summary of selected numerical methods for solving such initial value problems is presented. These methods are tested and compared on a model problem.
|
|
|
Fractional derivatives, theory and applications
Pelech, Petr ; Kučera, Václav (advisor) ; Dolejší, Vít (referee)
This work represents an overview of the given topic. After a short historical intro- duction, we present all necessary results from the classical theory of differentiation and integration. The core of the thesis is concerned with the Riemann-Liouville (R-L) integral and derivative of real functions defined on compact intervals. We prove basic properties for integrable as well as continuous functions. Along with the R-L definition, we also give the Caputo and Grünwald-Letnikov definitions and their mutual relations. Furthermore, we calculate the R-L derivatives of some elementary functions as well as basis functions from the finite element method. The last part is concerned with the numerical approximation of R-L derivatives. We describe and implement two algorithms, which we test on several functions. 1
|
|
| |
|
|
Qualitative and numerical analysis of fractional differential equations
Zemčíková, Michaela ; Tomášek, Petr (referee) ; Čermák, Jan (advisor)
This master's thesis deals with fractional differential equations. One of the aims of this thesis is to mention summary of basic types of fractional differential equations. It is very difficult to find their exact solution, hence we will analyze the main qualitative properties of solution, which are stability and asymptotics. Part of the text will be devoted to fractional difference equations, i.e. discussion of numerical solution. At the end of thesis the Bagley-Torvik model will be described with respect to qualitative properties and numerical solution.
|
|
|
Fractional differential equations and their applications
Kisela, Tomáš ; Tomášek, Petr (referee) ; Čermák, Jan (advisor)
Zlomkový kalkulus je matematická disciplína zabývající se vlastnostmi derivací a integrálů neceločíselných řádů (nazývaných zlomkové derivace a integrály, zkráceně diferintegrály) a metodami řešení diferenciálních rovnic obsahujících zlomkové derivace neznámé funkce (tzv. zlomkovými diferenciálními rovnicemi). V této práci představujeme standardní přístupy k definicím zlomkového kalkulu a důkazy některých základních vlastností diferintegrálů. Dále uvádíme krátký přehled metod řešení některých lineárních zlomkových diferenciálních rovnic a vymezujeme hranice jejich použitelnosti. Na závěr si všímáme některých fyzikálních aplikací zlomkového kalkulu.
|
|
|
Foundations of Fractional Calculus on Time Scales
Dolník, Matej ; Nechvátal, Luděk (referee) ; Kisela, Tomáš (advisor)
Bakalářská práce pojednává o zlomkovém kalkule na časových škálach, přesněji - zavádí zlomkový kalkulus na časových škálach a taktéž vyšetřuje jednoznačnost axiomatické definice zavádějící mocninné funkce. Po zavedení základních pojmů je předmětem diskuze hlavně zobecněná Laplaceova transformace a důkaz jednoznačnosti zobecněné Laplaceovy transformace, která je použita jako nástroj pro dokázání jednoznačnosti zlomkových mocniných funkcií na časových škálach.
|
|
|
Classical and fractional modelling of oscillatory motion
Hošek, Jaromír ; Tomášek, Petr (referee) ; Kisela, Tomáš (advisor)
In this thesis we deal with the issue of damped oscillations. Besides the classic description using member directly proportional to the first derivative position we focus on the model containing derivatives of non-integer order, so-called the fractional model of damped oscillations. The behavior of both models is studied through the test applications describing the movement of one, two, respectively three bodies connected by springs. The main tool for solving is the Laplace transform method. Besides the computational aspects we discuss some qualitative properties of solutions, especially dependence on order derivative in the fractional model and the behavior of the center of gravity system position.
|
|
|
Calculations and applications of fractional calculus
Zemčíková, Michaela ; Nechvátal, Luděk (referee) ; Čermák, Jan (advisor)
This bachelor’s thesis deals with the calculations and applications of fractional calculus. The aim of this thesis is to mention some basic fundamentals, definitions and properties of fractional calculus, that will be used for calculations of fractional integrals and derivations of selected elementary functions focus on power functions. In next part thesis will be concerned with fractional diffusion equation, which describes subdiffusive processes. Its result will be compared with the standard diffusion.
|
guest ::
