|
|
The Lanczos method in finite precision arithmetic
Šimonová, Dorota ; Tichý, Petr (vedoucí práce) ; Hnětynková, Iveta (oponent)
V této práci se věnujeme Lanczosově algoritmu a jeho chování v konečné aritmetice. Kromě shrnutí teoretických vlastností algoritmu a jeho vztahu k or- togonálním polynomům připomínáme i myšlenku aproximace vlastních čísel ma- tice Lanczosovou metodou. Jelikož je chování algoritmu silně ovlivněno konečnou aritmetikou, lineární nezávislost Lanczosových vektorů je ve většině případů ztracena už po pár krocích. Vycházíme z nejzásadnějších výsledků analýzy Lan- czosovy metody v konečné aritmetice uvedených ve článcích C. C. Paige, A. Gre- enbaum, Z. Strakoše a jiných. Na základě těchto výsledků studujeme formulaci a vlastnosti matematického modelu Lanczosovy metody v konečné aritmetice navrhovaného A. Greenbaum. Provádíme numerické experimenty v Matlabu, které ilustrují tyto teoretické vlastnosti.
|
|
|
Výběr délky kroku v metodách spádových směrů
Moravová, Adéla ; Tichý, Petr (vedoucí práce) ; Vlasák, Miloslav (oponent)
V této práci se zabýváme optimalizaèními spádovými metodami používajícími rùzné techniky pro volbu vhodné délky kroku, jež jsou založeny na hledání přibližného minima funkce v daném směru. Uva¾ujeme tři podmínky na volbu délky kroku (Armijovu, Goldsteinovu a Wolfeho) a čtyři spádové metody (metodu nejvìtšího spádu, Newtonovu metodu, kvazinewtonovu metodu BFGS a metodu sdružených gradientù). Rozebíráme a diskutujeme jejich konvergenèní vlastnosti a poukazujeme na výhody a nevýhody metod. Nakonec tyto metody testujeme numericky v prostředí GNU Octave na třech funkcích s rùzným počtem proměnných. 1
|
|
|
Neúplná Choleského faktorizace
Hoang, Phuong Thao ; Tůma, Miroslav (vedoucí práce) ; Tichý, Petr (oponent)
Práce se zabývá neúplnou Choleského faktorizací a jejími variantami, které mají velký význam pro předpodmiňování úloh se symetrickou a pozitivně definitní maticí. Zde se soustředíme především na řešení těchto velmi rozsáhlých soustav s řídkými maticemi, které vznikají v mnoha technických a přírodovědných oborech, pomocí předpodmíněných sdružených gradientů. Kromě dalších postupů můžeme na soustavu aplikovat Choleského faktorizaci přibližně, neúplně. V této práci studujeme existenci této faktorizace a chování a potenciál různých variant základního algoritmu. 1
|
|
|
Volba zastavovacích kritérií pro metody Newtonova typu
Kurnas, Jakub ; Dolejší, Vít (vedoucí práce) ; Tichý, Petr (oponent)
Formulujeme příklady parciálních diferenciálních rovnic, jejichž diskretizací se dostáváme k nelineárním soustavám rovnic algebraických. Nastiňujeme diskretizaci nespojitou Galerkinovou metodou, formulujeme pojmy diskretizační, algebraická chyba. Odvozujeme Newtonovu metodu pro řešení nelineárních algebraických soustav pomocí sekvence lineárních problémů, modifikujeme jí a zabýváme se její implementací. Za pomoci zavedených chyb formulujeme zastavovací kritéria pro metodu Newtonova typu a popisujeme, jak vyvážit přesnost řešení algebraického systému a původní parciální diferenciální rovnice. Odvozené ilustrujeme praktickými výpočty a provádíme několik základních pozorování týkajících se řešení různých soustav algebraických rovnic různými modifikacemi Newtonovy metody.
|
|
|
The choice of the step in trust region methods
Rapavý, Martin ; Tichý, Petr (vedoucí práce) ; Kučera, Václav (oponent)
V tejto práci sa venujeme voľbe kroku v metódach s lokálne ohraničeným krokom na hľadanie minima funkcie. Tento krok súvisí s problémom hľadania mi- nima kvadratickej modelovej funkcie na dôveryhodnej oblasti. Charakterizujeme riešenie tohto problému (Moré-Sorensenova veta) a ďalej uvažujeme rôzne tech- niky na aproximáciu riešenia tohto problému (metóda Cauchyho bodov, metóda psej nohy, metóda združených gradientov). V prípade prvých dvoch techník uká- žeme aj konvergenciu optimalizačnej metódy. Nakoniec sa venujeme numerickému testovaniu odvodených algoritmov v prostredí MATLAB na vhodne vybraných funkciách a počiatočných dátach. Je poukázané na rôzne výhody a nedostatky jednotlivých algoritmov. 1
|
|
|
Pole hodnot matice: Teorie a výpočet
Vacek, Lukáš ; Tichý, Petr (vedoucí práce) ; Tůma, Miroslav (oponent)
Pole hodnot matice A je konvexní množina v komplexní rovině určená maticí A. Má své důležité místo v teorii matic, a to především při zkoumání vlast- ností nenormálních matic, konvergence iteračních metod aplikovaných na tyto ma- tice, vlastností maticových polynomů, odhadování norem maticových funkcí atd. Práce shrnuje známé poznatky o poli hodnot matice, formuluje otevřené problémy a seznamuje čtenáře s myšlenkou algoritmu jeho výpočtu. V numerických expe- rimentech pak srovnává standardní realizaci tohoto algoritmu s alternativními přístupy používajícími mocninnou metodu, Lanczosův algoritmus a Chebfun.
|
|
|
Numerické počítání s funkcemi pomocí Chebfun
Lébl, Matěj ; Tichý, Petr (vedoucí práce) ; Hnětynková, Iveta (oponent)
Cílem práce je představit software Chebfun a myšlenky, na kterých je postaven. V první kapitole jsou shrnuty poznatky teorie polynomiální interpolace se zaměřením na Čebyševovy interpolanty. V druhé kapitole je představen software Chebfun, jeho základní příkazy a principy vytváření interpolantů. Třetí kapitola je věnována demonstraci tvrzení uvedených v první kapitole a ukázkám praktického použití Chebfunu při hledání kořenů funkce a řešení diferenciálních rovnic. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Metody pro řešení nelineárních rovnic
Havelková, Eva ; Kučera, Václav (vedoucí práce) ; Tichý, Petr (oponent)
Cílem této bakalářské práce je shrnout základní numerické metody pro řešení nelineárních algebraických rovnic jedné proměnné. Nejprve jsou zavedeny nezbytné pojmy z numerické matematiky a matematické analýzy. Dále jsou podrobně popsány vybrané numerické iterační metody, konkrétně metoda půlení intervalu, metoda fixed-point iterace, metoda regula falsi, Newtonova metoda, metoda sečen a metody založené na kvadratické interpolaci, a to včetně důkazů řádů jejich konvergence. Praktická část práce se skládá z numerických experimentů provedených na různých typech nelineárních rovnic pomocí softwaru Matlab a porovnání výsledků s teoretickými poznatky z předchozích částí. Přínosem práce je především vytvoření uceleného přehledu teoretických vlastností základních metod řešení nelineárních rovnic čerpajícího z množství odborných zdrojů. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
| |
|
|
Multilevel methods and adaptivity
Vacek, Petr ; Strakoš, Zdeněk (vedoucí práce) ; Tichý, Petr (oponent)
Po uvedení modelového příkladu je v práci odvozena jeho slabá formulace, vyšetřena existence a jednoznačnost řešení a představena Galerkinova metoda konečných prvků. Poté jsou stručně popsány některé stacionární iterační metody a na příkladu je vysvětlena jejich zhlazovací vlastnost. Následuje uvedení nejznámějších multigridních schémat, tj. two-grid correction scheme, V-cycle scheme a full multigrid algorithm. Poté je proveden experiment ukazující rozdíl mezi použitím přímého a iteračního řešiče na nejhrubší síti a experiment, ve kterém uvažujeme perturbaci vektoru opravy simulující částečné hardwarové selhání. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
host ::
RSS.