|
|
Additive combinatorics and number theory
Hančl, Jaroslav ; Klazar, Martin (vedoucí práce)
Tato práce obsahuje výsledky ohledně růstu počítacích funkcí ideálů různých kombinatorických struktur. Ideál je množina prvků uzavřená na relaci obsa- hování, například množina všech rozkladů je uzavřená na podrozklady, nebo množina grafů může být uzavřená na indukované podgrafy. Počítací funkce (PF) ideálu pak udává kolik prvků dané velikosti je obsaženo v tomto ideálu. V první kapitole dokazujeme asymtotiku PF ideálů číselných rozkladů, které neobsahují rozklady s částmi v pevně dané konečné množině S. Tuto asymp- totiku dále použijeme při konstrukci ideálu číselných rozkladů, jehož PF velmi osciluje. Zmíníme rovněž další aplikace při charakterizaci PF dalších rozk- ladových ideálů. V druhé kapitole zobecníme ideály uspořádaných grafů na uspořádané k- uniformní hypergrafy a ukážeme dvě dichotomie jejich PF. Nejprve dokážeme skok z konstantního na lineární růst PF pro uspořádané k-uniformní grafy. Druhý výsledek ukazuje skok z polynomiálního na exponenciální růst PF pro uspořádané 3-uniformní hypergrafy. Jinak řečeno, neexistují žádné uspořádané k-uniformní hypergrafy s nekonstantní, avšak subpolynomiální PF. Obdobně neexistují žádné uspořádané 3-uniformní...
|
|
|
Additive combinatorics and number theory
Hančl, Jaroslav ; Klazar, Martin (vedoucí práce) ; Balogh, Jozsef (oponent) ; Nedela, Roman (oponent)
Tato práce obsahuje výsledky ohledně růstu počítacích funkcí ideálů různých kombinatorických struktur. Ideál je množina prvků uzavřená na relaci obsa- hování, například množina všech rozkladů je uzavřená na podrozklady, nebo množina grafů může být uzavřená na indukované podgrafy. Počítací funkce (PF) ideálu pak udává kolik prvků dané velikosti je obsaženo v tomto ideálu. V první kapitole dokazujeme asymtotiku PF ideálů číselných rozkladů, které neobsahují rozklady s částmi v pevně dané konečné množině S. Tuto asymp- totiku dále použijeme při konstrukci ideálu číselných rozkladů, jehož PF velmi osciluje. Zmíníme rovněž další aplikace při charakterizaci PF dalších rozk- ladových ideálů. V druhé kapitole zobecníme ideály uspořádaných grafů na uspořádané k- uniformní hypergrafy a ukážeme dvě dichotomie jejich PF. Nejprve dokážeme skok z konstantního na lineární růst PF pro uspořádané k-uniformní grafy. Druhý výsledek ukazuje skok z polynomiálního na exponenciální růst PF pro uspořádané 3-uniformní hypergrafy. Jinak řečeno, neexistují žádné uspořádané k-uniformní hypergrafy s nekonstantní, avšak subpolynomiální PF. Obdobně neexistují žádné uspořádané 3-uniformní...
|
|
|
Matice bez zakázaných intervalových minorů
Surma, David ; Jelínek, Vít (vedoucí práce) ; Klazar, Martin (oponent)
V práci zkoumáme strukturu binárních matic, které neobsahují vzor P jako intervalový minor. Zabýváme se rovněž maticemi kritickými pro P, tedy maticemi neobsahujícími P, které po změně libovolného 0-prvku na 1-prvek zakázaný vzor P obsahují. Nejprve popi- sujeme matice kritické pro libovolný jednořádkový vzor. Dále se zabýváme všemi vzory o dvou řádcích a třech sloupcích, které obsahují nejvýše čtyři 1-prvky. Nakonec charak- terizujeme matice kritické pro střídavý vzor o rozměrech 2 × 4. 1
|
|
|
Enumeration of polyomino fillings
Karpilovskij, Mark ; Jelínek, Vít (vedoucí práce) ; Klazar, Martin (oponent)
V práci dokazujeme dva nové výsledky o 0-1-vyplněních skew diagramů, které neobsahují dlouhé rostoucí a klesající řetězce. V první polovině práce ukážeme, že pro velkou třídu skew diagramů existuje bijekce mezi řídkými vyplněními bez rostoucího řetězce dané délky a řídkými vyplněními bez klesajícího řetězce stejné délky. Ve druhé polovině práce zobecníme známou nerovnost mezi počtem řídkých vyplnění skew diagramu bez rostoucího řetězce délky 2 a počtem řídkých vyplnění bez klesajícího řetězce délky 2 na všechna možná 0-1-vyplnění. 1
|
|
|
Hereditary classes of binary matrices
Kučera, Stanislav ; Jelínek, Vít (vedoucí práce) ; Klazar, Martin (oponent)
Intervalové minory binárních matic byly zavedeny Jacobem Foxem při vý- zkumu Stanleyho-Wilfových limit. Prozkoumáme, co se dá odvodit z jejich vztahu s teorií neobsahování podmaticových vzorů, což je velmi populární oblast diskrétní matematiky. Začneme charakterizací matic neobsahujících malé intervalové mi- nory. Poté se podíváme na třídy matic uzavřené na intervalové minory a najdeme takové třídy, které nelze popsat pomocí konečně mnoha zakázaných intervalových minorů. Také zadefinujeme a prozkoumáme variantu klasické Turánovské otázky zkoumané v oblastech kombinatoriky permutací a binárních matic a kombinato- rické geometrie. 1
|
|
|
Pattern-avoiding permutation classes
Opler, Michal ; Jelínek, Vít (vedoucí práce) ; Klazar, Martin (oponent)
Major index permutace π je součet všech indexů i takových, že πi > πi+1. V této práci zkoumáme distribuci major indexu na permutacích neobsahujích zakázané vzory. Zajímá nás hodnota Mm n (Π), což je počet permutací délky n s major indexem m a množinou zakázaných vzorů Π. Podařilo se nám ukázat, že pro jednoprvkovou množinu Π = {σ} krom okrajových triviálních pří- padů, se hodnoty Mm n (Π) chovají monotónně, nebo-li Mm n (Π) ≤ Mm n+1(Π). Hlavním výsledkem je rozbor asymptotického chování hodnot Mm n (Π) pro n jdoucí k nekonečnu. Ukážeme, že pro každé pevné m, Π a dostatečně velké n jsou hodnoty Mm n (Π) rovny polynomu v proměnné n a navíc jsme schopni určit stupně těchto polynomů pro různé množiny zakázaných vzorů. 1
|
|
|
Enumerace kompozic čísel se zakázanými vzory
Dodova, Borjana ; Klazar, Martin (vedoucí práce) ; Jelínek, Vít (oponent)
Enumerace kompozic čísel se zakázanými vzory Abstrakt Tato práce si klade za cíl odvodit některé výsledky pro 3-regulární kompozice, tedy kompozice se zakázaným vzorem {121, 212, 11}, které jsou jistým zobecněním Carlitzových kompozic. Pomocí generujících funkcí příslušejících kompozicím se zakázanou množinou vzorů {121, 11} a {212, 11} počítáme horní asymptotický odhad koeficientů mocninného rozvoje generující funkce příslušející 3-regulárním kompozicím. S využitím teorie konečných automatů dostáváme také dolní odhad. Ten posléze zpřesňujeme na základě 3-blokových kompozic. Pro generující funkci příslušející 3- regulárním kompozicím se zvýrazněnou předposlední a poslední částí dokazujeme rekurzivní vztah. Kromě 3-regulárních kompozic a úloh, které s nimi přímo souvisejí, se zabýváme také kompozicemi s množinou zakázaných vzorů {312, 321} s částmi z konečné množiny [d], pro něž odvozujeme maticový tvar generující funkce. V závěru práce dokazujeme transcendentalitu generující funkce příslušející Carlitzovým kompozicím.
|
|
|
Dissections of triangles and distances of groups
Szabados, Michal ; Drápal, Aleš (vedoucí práce) ; Klazar, Martin (oponent)
Označme gdist(p) najmenší možný počet políčok, ktorý je nutné zmeniť v tabuľke sčítania modulo prvočíslo p, aby vznikol latinský štvorec. Drápal, Cavenagh a Wanless formulovali hypotézu, podľa ktorej existuje c > 0 také, že gdist(p) ≤ c log(p). V tejto práci je táto hypotéza dokázaná pre c ≈ 7.21, a to pomocou konštrukcie delenia rovnostranného trojuholníka so stranou n na O(log(n)) rovnostranných trojuholníkov. Uvádzame taktiež spodný odhad c log(p) ≤ gdist(p) s vylepšenou konštanou c ≈ 2.73. V práci na záver prezentujeme výpočetné dáta, ktoré naznačujú, že pre veľké hodnoty p platí gdist(p)/ log(p) ≈ 3.56.
|
|
|
Rothova věta o aritmetických posloupnostech
Krkavec, Michal ; Klazar, Martin (vedoucí práce) ; Kráľ, Daniel (oponent)
Název práce: Rothova věta o aritmetických posloupnostech Autor: Michal Krkavec Katedra: Katedra aplikované matematiky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Martin Klazar, Dr., Katedra aplikované matematiky Abstrakt: V předložené práci se zabýváme vlastnostmi množin přirozených čí- sel neobsahujících aritmetické posloupnosti. Cílem této práce je podat přehled a srovnání analytických a kombinatorických důkazů Rothovy věty, která tvrdí, že každá množina s kladnou horní asymptotickou hustotou obsahuje aritmetic- kou posloupnost délky tři. Zaměříme se také na vývoj poznatků od Erd˝osovy- Turánovy domněnky přes Rothovu větu až ke slavné Szemerédiho větě, která podala odpověď pro aritmetické posloupnosti libovolné délky k. V závěru práce se seznámíme s odhady čísla r3(n), které odpovídá největší velikosti podmnožiny A ⊆ [n], jež neobsahuje žádné aritmetické posloupnosti délky tři. Ukážeme dvě konstrukce, jak takové množiny A ⊆ [n] vybrat. Klíčová slova: Aditivní teorie čísel, Aritmetická posloupnost, Rothova věta, Elki- nova konstrukce
|
|
|
Obecná enumerace číselných rozkladů
Hančl, Jaroslav ; Klazar, Martin (vedoucí práce) ; Jelínek, Vít (oponent)
Název práce: Obecná enumerace číselných rozklad· Autor: Jaroslav Hančl Katedra: Katedra aplikované matematiky Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Martin Klazar, Dr., KAM MFF UK Abstrakt: Předložená diplomová práce se zabývá asymptotikami počítacích funkcí ideál· číselných rozklad·. Jejím hlavním cílem je zjistit největší možný asympto- tický r·st počítací funkce rozkladového ideálu, která je nekonečněkrát rovna nule. Autor se na základě znalosti asymptotik vybraných rozkladových ideál· snaží po- mocí kombinatorických a základních analytických metod odvodit odhady hledané asymptotiky. Výsledkem je za prvé slabší horní odhad, za druhé poměrně silný dolní odhad a za třetí, pro speciální třídu rozkladových ideál· je nalezen největší asymptotický r·st. Klíčová slova: íselné rozklady, asymptotika rozklad·, rozkladové ideály, počítací funkce, kombinatorická enumerace. 1
|
host ::
RSS.