|
|
Výpočtové problémy elementární teorie čísel
Widž, Jiří ; Porubský, Štefan (vedoucí práce) ; Staněk, Jakub (oponent) ; Šimša, Jaromír (oponent)
Název práce: Výpočtové problémy elementární teorie čísel Autor: Mgr. Jiří Widž Katedra: Katedra didaktiky matematiky MFF UK Vedoucí rigorózní práce: Prof. RNDr. Štefan Porubský, DrSc. Ústav informatiky Akademie věd České republiky, v. v. i. Abstrakt: Ústředním pojmem předložené práce je pojem řetězových zlomků. V práci jsou podány historické souvislosti vzniku tohoto pojmu jako jednoho z nejstarších matematických prostředků. Technika řetězových zlomků patří do klasických partií matematiky a jejich obecná teorie je značně vrstevnatá a v učebnicích vyložená v závislosti od předpokládaného záměru použití. V předložené práci shrneme základy obecné teorie konvergence řetězových zlomků s důrazem na teorii jednoduchých řetězových zlomků a jejich nejčastější aplikace. Poukážeme na možnosti rozšíření pojmu řetězového zlomku na další struktury jako jsou např. Gaussova celá čísla nebo polynomiální řetězové zlomky. V části o maticových řetězových zlomcích ukážeme i na možnosti jeho rozšíření na nekomutativní algebraické struktury. V práci uvedeme použití aparátu řetězových zlomků na řešení diofantických a algebraických rovnic, na krácení zlomků, faktorizaci celých čísel, určení typu kalendáře i jako na prostředek jednoduchého útoku na kryptologický RSA systém, atd. Výklad provázíme konkrétními příklady. Poslední část...
|
|
| |
|
|
Idempotents, Group Membership and their Applications
Porubský, Štefan
S.Schwarz in his paper [165] proved the existence of maximal subgroups in periodic semigroups and a decade later he brought [167] into play the maximal subsemigroups and thus he embodied the idempotents in the structural description of semigroups. Later in his papers he showed that a proper description of these structural elements can be used to (re)prove many useful and important results in algebra and number theory. The present paper gives a survey of selected results scattered throughout the literature where an semigroup approach based on tools like idempotent, maximal subgroup or maximal subsemigroup either led to a new insight into the substance of the known results or helped to discover new approach to solve problems. Special attention will be given to some disregarded historical connections between semigroup and ring theory.
|
|
|
Semigroup Structure of Sets of Solutions to Equation X^s = X^m
Porubský, Štefan
Using an idempotent semigroup approach we describe the semigroup and group structure of the set of solutions to equation X^m = X^s in successive steps over a periodic commutative semigroup, over multiplicative semigroups of factor rings of residually finite commutative rings and finally over multiplicative semigroups of factor rings of residually finite commutative principal ideal domains. The analysis is done through the use of the maximal subsemigroups and groups corresponding to an idempotent of the corresponding semigroup and in the case of residually finite PID’s employing the available analysis of the Euler-Fermat Theorem as given in [11]. In particular the case when this set of solutions is a union of groups is handled. As a simple application we show a not yet noticed group structure of the set of solutions to x^n = x connected with the message space of RSA cryptosystems and Fermat pseudoprimes.
|
|
|
Výpočtové problémy elementární teorie čísel
Widž, Jiří ; Porubský, Štefan (vedoucí práce) ; Staněk, Jakub (oponent) ; Šimša, Jaromír (oponent)
Název práce: Výpočtové problémy elementární teorie čísel Autor: Mgr. Jiří Widž Katedra: Katedra didaktiky matematiky MFF UK Vedoucí rigorózní práce: Prof. RNDr. Štefan Porubský, DrSc. Ústav informatiky Akademie věd České republiky, v. v. i. Abstrakt: Ústředním pojmem předložené práce je pojem řetězových zlomků. V práci jsou podány historické souvislosti vzniku tohoto pojmu jako jednoho z nejstarších matematických prostředků. Technika řetězových zlomků patří do klasických partií matematiky a jejich obecná teorie je značně vrstevnatá a v učebnicích vyložená v závislosti od předpokládaného záměru použití. V předložené práci shrneme základy obecné teorie konvergence řetězových zlomků s důrazem na teorii jednoduchých řetězových zlomků a jejich nejčastější aplikace. Poukážeme na možnosti rozšíření pojmu řetězového zlomku na další struktury jako jsou např. Gaussova celá čísla nebo polynomiální řetězové zlomky. V části o maticových řetězových zlomcích ukážeme i na možnosti jeho rozšíření na nekomutativní algebraické struktury. V práci uvedeme použití aparátu řetězových zlomků na řešení diofantických a algebraických rovnic, na krácení zlomků, faktorizaci celých čísel, určení typu kalendáře i jako na prostředek jednoduchého útoku na kryptologický RSA systém, atd. Výklad provázíme konkrétními příklady. Poslední část...
|
|
| |
host ::
RSS.