|
|
Duhové aritmetické posloupnosti a extremální množiny v mřížkách
Voborník, Jan ; Šámal, Robert (vedoucí práce) ; Pangrác, Ondřej (oponent)
Když jsou čísla $1,\ldots,tn$ obarvena $t$ barvami (každá je užita $n$-krát), existuje mezi nimi duhová aritmetická posloupnost délky $k$. (Duhová aritmetická posloupnost je taková, která nemá žádné dva členy stejné barvy.) Toto platí pro $t>k^3$. Označme $T_k$ nejmenší takové $t$, pro které to platí. Hypotéza Jungiće a spol. říká, $T_k=O(k^2)$. Problém souvisí s extremálními problémy diskrétních hyperkrychlí. Představujeme metodu s mřížkami (diskrétní hyperkrychle, které mohou obsahovat nerozlišitelné prvky), která může vést k vylepšení odhadu $T_k$ až na $O(k^2\log k)$. V práci vyřešíme několik extremálních problémů v mřížkách, které mají důsledky v různých partiích matematiky. Například pomocí mřížek dokážeme hranovou isoperimetrickou nerovnost pro Hammingovu krychli, nalezneme bipartitní graf s maximálním součtem druhých mocnin stupňů a konvexní množinu $M\subseteq [0,b]\times[0,a]$ maximalizující funkci $G(M)=\int_{x=0}^a \lambda_1(M_x)^2+\int_{y=0}^b \lambda_1(M_y)^2$. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Duhové aritmetické posloupnosti a extremální množiny v mřížkách
Voborník, Jan ; Šámal, Robert (vedoucí práce) ; Pangrác, Ondřej (oponent)
Když jsou čísla $1,\ldots,tn$ obarvena $t$ barvami (každá je užita $n$-krát), existuje mezi nimi duhová aritmetická posloupnost délky $k$. (Duhová aritmetická posloupnost je taková, která nemá žádné dva členy stejné barvy.) Toto platí pro $t>k^3$. Označme $T_k$ nejmenší takové $t$, pro které to platí. Hypotéza Jungiće a spol. říká, $T_k=O(k^2)$. Problém souvisí s extremálními problémy diskrétních hyperkrychlí. Představujeme metodu s mřížkami (diskrétní hyperkrychle, které mohou obsahovat nerozlišitelné prvky), která může vést k vylepšení odhadu $T_k$ až na $O(k^2\log k)$. V práci vyřešíme několik extremálních problémů v mřížkách, které mají důsledky v různých partiích matematiky. Například pomocí mřížek dokážeme hranovou isoperimetrickou nerovnost pro Hammingovu krychli, nalezneme bipartitní graf s maximálním součtem druhých mocnin stupňů a konvexní množinu $M\subseteq [0,b]\times[0,a]$ maximalizující funkci $G(M)=\int_{x=0}^a \lambda_1(M_x)^2+\int_{y=0}^b \lambda_1(M_y)^2$. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
host ::
RSS.