|
|
Hyperelliptic curves and their application in cryptography
Perzynová, Kateřina ; Tomáš, Jiří (oponent) ; Kureš, Miroslav (vedoucí práce)
The aim of this thesis is to present an introduction to the theory of hyperelliptic curves, especially over finite fields. Also the introduction to the theory of divisors on hyperelliptic curves is described, including its representation, arithmetic over divisors and their utilization in cryptography. The theory is often illustrated by examples and calculations in the Mathematica software.
|
|
|
Okruhy řádu p^2 a p^3
Haluza, Vít ; Hrdina, Jaroslav (oponent) ; Kureš, Miroslav (vedoucí práce)
Tato bakalářská práce se zabývá klasifikací a zkoumaním vlastností okruhů řádu p^2 a p^3 (p je prvočíslo). Jsou zde zavedeny a používány pojmy, jako ideál okruhu nebo polynomy nad konečným polem. Kromě blíže nespecifikovaných abstraktních okruhů jsou uvedeny a klasifikovány také některé speciální typy konečných okruhů. Součástí této práce je také programový balíček, který dokáže automaticky rozpoznat, ve které ze tříd se nachází uživatelem zadaný okruh řádu p^2.
|
|
|
Drozdovy okruhy
Nytra, Jan ; Doupovec, Miroslav (oponent) ; Kureš, Miroslav (vedoucí práce)
Tato práce se zabývá problematikou Drozdových okruhů. V úvodu jsou připomenuty vybrané partie z teorie algebry, potřebné pro jejich zavedení. Následující kapitola je věnována příkladu Dozdova okruhu. Dále následuje část, ve které se zabýváme Weilovými algebrami - ukazuje se, že Drozdovy algebry nad polem reálných čísel jsou specifickým příkladem Weilových algeber. Také zde konstruujeme grupy algebrových automorfismů těchto algeber. V poslední části se věnujeme Lieovým grupám, protože grupy algebrových automorfismů Weilových algeber jsou příklady Lieových grup.
|
|
|
Transfer eliptických křivek na torus
Bajko, Jaroslav ; Hrdina, Jaroslav (oponent) ; Kureš, Miroslav (vedoucí práce)
Eliptické křivky jsou nedílnou součástí novodobé matematiky a nacházejí uplatnění zejména v kryptografii. Práce se věnuje vizualizaci eliptických křivek a grupové operace nad nimi v reálné rovině a následně na toru. V úvodní části se proto zaměříme na analýzu eliptických křivek nad polem reálných čísel a především nad poli prvočíselnými. Důraz je kladen na grafické znázornění probírané problematiky, stejně také na experimentální výsledky v oblasti diskrétních eliptických křivek. Předmětem zájmu v další části práce je topologie, průzkum zobrazení mezi topologickými prostory a následné zavedení pojmu hladké variety. Odvodíme vhodná zobrazení, která umožňují přenos geometrických objektů z reálné roviny na torus. Na základě zmíněných zobrazení pracuje software vyvinutý speciálně pro účely vizualizace eliptických křivek na toru.
|
|
| |
|
|
Algoritmy interpolace polynomy více neurčitých
Doktorová, Alice ; Čermák, Libor (oponent) ; Kureš, Miroslav (vedoucí práce)
Tato bakalářská práce se zabývá algoritmy vícerozměrné interpolace. V první části je studován problém interpolace nad rovinou. Dále je uvedeno zobecnění Lagrangeovy interpolace pro případ více neurčitých. Diskutujeme zde také stupeň polynomu pro libovolné pole. Součástí této práce je i funkční programový balík v prostředí Mathematica, který řeší vícerozměrnou interpolaci nad libovolným polem.
|
|
|
Fibonacci čísla a jejich aplikace
Váňa, Viktor ; Kureš, Miroslav (oponent) ; Klaška, Jiří (vedoucí práce)
Bakalářská práce se zabývá vybranými aplikacemi Fibonacci čísel a zlatého řezu. Práce je rozdělena na dvě hlavní části. První část zkoumá výskyt zlatého řezu v chemii. Konkrétně jde o poměr poloměrů atomů ve sloučeninách halogenidů alkalických kovů, asymetrické rysy chemických procesů, stabilitu transuranových prvků, energetickou hladinu elektronů plynů a spinové stavy subatomárních částic. V druhé části se zabývá simulací elektrické sítě napájené ze dvou stran a výpočtem jejích parametrů. Na okraj, jako ukázka rozmanitosti výskytu Fibonacci čísel, je uveden odstavec o zlatém řezu ve vztahu rostlin a hmyzu.
|
|
|
Rings of endomorphisms of elliptic curves and Mestre's theorem
Szásziová, Lenka ; Hrdina, Jaroslav (oponent) ; Kureš, Miroslav (vedoucí práce)
The elliptic curves are a powerful tool at present. First, they helped to solve many mathematical problems, but they also found their place in numerous applications, such as Elliptic Curve Cryptography (ECC). This public key encryption has a great future, because it solve the drawbacks of the famous RSA method. One of main the problems of the Elliptic Curve Cryptography is the determination of the elliptic curve’s order, i.e. calculating the number of elliptic curve’s points over the prime field. In this thesis we will deal with this fundamental problem. For determining of elliptic curve’s order there exist several algorithms. For smaller prime numbers (i.e. the characteristics of the prime field) we have the algorithm, which uses direct calculation, called the Naive algorithm. A great assist in this issue is the Hasse’s Theorem, which states that the elliptic curve’s order has a bound - Hasse’s interval. Shank’s algorithm and its improvement Mestre’s algorithm are successfully used for larger prime numbers. Both algorithms have two parts called the Baby Step and the Giant Step. Shank’s algorithm is in some cases unusable, and this problem is solved by Mestre’s algorithm with the twist of elliptic curve. Thanks to Mestre’s Theorem, it was proved that the order of the elliptic curves over the prime field can be computed for each prime number greater than 457. The proof, which consists primarily in the isomorphism of elliptic curve’s endomorphism’s ring and the imaginary quadratic order, is mentioned at the end of this work.
|
|
| |
|
|
Algebraické metody řešení kubické rovnice
Sladká, Vladimíra ; Kureš, Miroslav (oponent) ; Klaška, Jiří (vedoucí práce)
Algebraickým řešením kubických rovnic se snažíme získat tři kořeny, z nichž jeden je reálný a zbývající dva mohou být jak reálné, tak kompexně sdružené. Výpočty jsou v této práci prováděny pomocí Cardanových vzorců. V současné době se ovšem Cardanovy vzorce téměř nepoužívají pro svou nepraktičnost a výpočty jsou prováděny pomocí numerických metod.
|
host ::
RSS.