|
|
Goal-oriented a posteriori error estimates and adaptivity for the numerical solution of partial differential equations
Roskovec, Filip ; Dolejší, Vít (vedoucí práce) ; Kanschat, Guido (oponent) ; Zeman, Jan (oponent)
Aposteriorní odhady chyby jsou nedílnou součástí každé spolehlivé numerické metody pro řešení parciálních diferenciálních rovnic. Účelem odhadů chyby cílové veličiny je kontrolovat výpočetní chyby předem dané veličiny. Díky tomu je tato metoda velmi vhodná pro řadu praktických aplikací. Výsledné odhady chyby mohou být rovněž využity k adaptaci výpočetní sítě. To umožňuje nalézt numerickou aproximaci cílové veličiny velmi efektivním způsobem. V této práci jsou odhady chyby cílové veličiny odvozeny pro nespojitou Galerkinovu metodu použitou pro numerické řešení lineární skalární úlohy a pro nelineární Eulerovy rovnice popisující proudění nevazké stlačitelné kapaliny. Dále se práce zaměřuje na několik aspektů metody odhadů cílové veličiny, konkrétně na: rekonstrukci diskrétního řešení, adjungovanou konzistenci diskretizace, kontrolu algebraických chyb vznikajících při řešení algebraických problémů pro primární i adjungovaný problém a propojení odhadů s hp-anizotropní adaptací sítě. Vlastnosti a chování metody jsou ověřeny numerickými experimenty.
|
|
|
Superkonvergence pro časové diskretizace pomocí nespojité Galerkinovy metody
Roskovec, Filip ; Vlasák, Miloslav (vedoucí práce) ; Knobloch, Petr (oponent)
Tématem této práce je teoretická analýza nespojité Galerkinovy metody pro časoprostorové diskretizace jednoduchých nestacionárních úloh. Narozdíl od standartní Metody konečných prvků (FEM) nevyžaduje nespojitá Galerkinova metoda spojitost přibližného řešení mezi sousedními prvky triangulace. Nespojitou Galerkinovu metodu aplikujeme zvlášť v čase a v prostoru. Nejprve diskretizujeme prostorovou část úlohy, a získáme tak prostorovou semidiskretizaci. Na semidiskrétní problém následně aplikujeme Časově nespojitou Galerkinovu metodu. Aproximaci řešení pak hledáme v prostoru nespojitých po částech polynomiálních funkcí stupně p a q v prostorové, respektive časové proměnné. Následuje analýza chyb tohoto schématu. Nakonec se věnujeme superkonvergenci schématu v uzlových bodech časové diskretizace. Numerické výpočty potvrzují teoretické výsledky.
|
|
|
Goal-oriented a posteriori error estimates and adaptivity for the numerical solution of partial differential equations
Roskovec, Filip ; Dolejší, Vít (vedoucí práce) ; Kanschat, Guido (oponent) ; Zeman, Jan (oponent)
Aposteriorní odhady chyby jsou nedílnou součástí každé spolehlivé numerické metody pro řešení parciálních diferenciálních rovnic. Účelem odhadů chyby cílové veličiny je kontrolovat výpočetní chyby předem dané veličiny. Díky tomu je tato metoda velmi vhodná pro řadu praktických aplikací. Výsledné odhady chyby mohou být rovněž využity k adaptaci výpočetní sítě. To umožňuje nalézt numerickou aproximaci cílové veličiny velmi efektivním způsobem. V této práci jsou odhady chyby cílové veličiny odvozeny pro nespojitou Galerkinovu metodu použitou pro numerické řešení lineární skalární úlohy a pro nelineární Eulerovy rovnice popisující proudění nevazké stlačitelné kapaliny. Dále se práce zaměřuje na několik aspektů metody odhadů cílové veličiny, konkrétně na: rekonstrukci diskrétního řešení, adjungovanou konzistenci diskretizace, kontrolu algebraických chyb vznikajících při řešení algebraických problémů pro primární i adjungovaný problém a propojení odhadů s hp-anizotropní adaptací sítě. Vlastnosti a chování metody jsou ověřeny numerickými experimenty.
|
|
|
Numerické řešení nelineárních problémů konvekce-difuze pomocí adaptivních metod
Roskovec, Filip ; Vlasák, Miloslav (vedoucí práce) ; Feistauer, Miloslav (oponent)
Tato práce se zabývá analýzou a implementací Časově nespojité Galerkinovy metody. Významnou součástí této práce je vytvoření algoritmu zaměřeného na řešení nelineárních rovnic konvekce-difůze, který kombinuje Nespojitou Galerkinovu metodu v prostoru s Časově nespojitou Galerkinovou metodou. Tento přístup přináší snadno docílitelnou adaptivitu i vysoký řád aproximace vzhledem k prostorovým i časovým proměnným. Nelinearita problému je překonávána pomocí tlumené zobecněné Newtonovy metody. Druhá část práce se zaměřujeme na Časově nespojitou Galerkinovu metodu pro obyčejné diferenciální rovnice. Ukazuje, že řešení Časově nespojité Galerkinovy metody se shoduje s řešením získaným pomocí implicitních Radau IIA Runge-Kuttových metod v uzlech pravé Radauovy kvadratury. Díky tomuto vztahu je možno získat v těchto bodech odhady chyby řádu o jedna vyššího než je standartní řád. Kromě toho může být dosažen téměř dvojnásobný řád chyby v koncových bodech intervalů časového dělení. Nakonec se práce zabývá fenoménem tuhosti (stiffness), který může dramaticky snižovat řád konvergence použité metody. Teoretické výsledky potvrzují numerické experimenty. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Superkonvergence pro časové diskretizace pomocí nespojité Galerkinovy metody
Roskovec, Filip ; Vlasák, Miloslav (vedoucí práce) ; Knobloch, Petr (oponent)
Tématem této práce je teoretická analýza nespojité Galerkinovy metody pro časoprostorové diskretizace jednoduchých nestacionárních úloh. Narozdíl od standartní Metody konečných prvků (FEM) nevyžaduje nespojitá Galerkinova metoda spojitost přibližného řešení mezi sousedními prvky triangulace. Nespojitou Galerkinovu metodu aplikujeme zvlášť v čase a v prostoru. Nejprve diskretizujeme prostorovou část úlohy, a získáme tak prostorovou semidiskretizaci. Na semidiskrétní problém následně aplikujeme Časově nespojitou Galerkinovu metodu. Aproximaci řešení pak hledáme v prostoru nespojitých po částech polynomiálních funkcí stupně p a q v prostorové, respektive časové proměnné. Následuje analýza chyb tohoto schématu. Nakonec se věnujeme superkonvergenci schématu v uzlových bodech časové diskretizace. Numerické výpočty potvrzují teoretické výsledky.
|
host ::
RSS.