|
|
Hluboké učení pro řešení diferenciálních rovnic
Vais, Matěj ; Congreve, Scott (vedoucí práce) ; Kučera, Václav (oponent)
Neuronové sítě se stávají čím dál tím populárnějším nástrojem pro řešení diferenciál- ních rovnic. Jejich použití ztělesňuje koncept physics-informed neural network (PINN), který kombinuje tradiční hlubokou neuronovou síť s fyzikálními zákony v podobě par- ciálních diferenciálních rovnic. Možnosti tohoto relativně nového přístupu prozkoumáme na třech rozmanitých příkladech, abychom mohli přehledně formulovat jeho výhody a nevýhody. Každý z problémů je také řešen metodou konečných prvků, která slouží jako referenční přístup. Kromě toho navrhujeme použití předtrénovaní, které se běžně používá v jiných vědeckých oborech. Pokud inicializujeme proces řešení rovnice pomocí výsledku podobného problému, významně tím zkrátíme výpočetní čas, který je zásadním nedostatkem PINN. 1
|
|
|
Numerical solution of porous media flow with a dual-permeability model
Kváčová, Radka ; Dolejší, Vít (vedoucí práce) ; Congreve, Scott (oponent)
Proudění v porézním prostředí lze popsat Richardsovou rovnicí. Porézní prostředí je často různorodé a homogenní popis nemusí odpovídat realitě. Proto budeme uvažovat model Richardsovy rovnice s duální permeabilitou. Tento model předpokládá, že můžeme rozdělit porézní prostředí na dvě různé na sobě ležící propojené části. V této práci se budeme zabývat numerickým řešením Richardsovy rovnice s duální permeabilitou. Popíšeme odvození to- hoto modelu a následně problém diskretizujeme nespojitou Galerkinovou metodou vzhledem k prostoru a času. Tato diskretizace vede na systém nelineárních algebraických rovnic. Na závěr provedeme dva numerické ex- perimenty. 1
|
|
|
Numerical approximation of the time-ordered exponential for spin dynamic simulation
Lazzarino, Lorenzo ; Pozza, Stefano (vedoucí práce) ; Congreve, Scott (oponent)
We describe, discuss, and compare classes of methods for the numerical solution of non-autonomous linear ODEs using problems coming from Nuclear magnetic resonance (NMR) spectroscopy with Magic-angle spinning (MAS) as case study. The newly intro- duced ⋆-product approach uses a convolution-like product to express the time-ordered exponential to then expand it in a Legendre polynomials basis so to transform the orig- inal ODE problem into a linear algebra problem. The aim is to compare the numerical performance of this method with other commonly used methods. Therefore, we take into account geometric numerical integrators. This group of integrators are frequently used in many different areas of research as, for example, quantum mechanics, molecular dynamics and particle accelerators physics. Their approach can either approximate the solution of the non-autonomous ODE by means of a single time-independent exponential (Magnus Integrators) or by means of a product of time-independent exponentials (Splitting Meth- ods, Commutator-Free Exponential Integrators). Finally, numerical experiments on the NMR MAS case study are performed to test the numerical behaviour of the ⋆-process and compare it with the already established alternatives. 1
|
host ::
RSS.