|
|
Výroková logika a algebra
Polach, František ; Krajíček, Jan (vedoucí práce) ; Pudlák, Pavel (oponent)
Algebraic proof systems of which the most important are the polynomial calculus and the Nullstellensatz proof system are proof systems that use algebraic means for proving propositional tautologies - they are based on polynomial identities over (commutative) rings. Razborov [9] have proved a non-trivial lower bound on degree for polynomia calculus proofs of the tautologies (a set of polynomials) that express the pigeonhole principle over any field. This work gathers present important results for algebraic proof systems and generalizes the Razborov's construction used in his proof of the lower bound to another set of polynomials. We explicitly describe the basis of the vector space of polynomials that are derivable by a small degree polynomial calculus proof from the tautologies that express a variant of the pigeonhole principle (that generalizes the principle for multifunctions).
|
|
|
Vyhledávací problémy a hledání kolizí pro hašovací funkce
Čarnoký, Samuel ; Krajíček, Jan (vedoucí práce) ; Pudlák, Pavel (oponent)
Název práce: Vyhledávací problémy a hledání kolizí pro hašovací funkce Autor: Samuel Čarnoký Katedra : Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Jan Krajíček, DrSc. e-mail vedoucího: krajicek@karlin.mff.cuni.cz Abstrakt: Centrálnymi bodmi tejto práce sú NP vyhľadávacie problémy a existencia redukcie medzi nimi v relativizovanom zmysle. Absolútna separácia by separovala P od NP. Venujeme sa špeciálne problému hľadania kolízii v hešovacích funkciách, ktorých existencia je garantovaná známym holubníkovým princípom (PHP). Podávame stručný úvod do problematiky, definujeme rôzne NP vyhľadávacie problémy a pripomíname redukcie a separácie. Referujeme o redukcii slabej verzie PHP na hľadanie homogénneho podgrafu a prinášame vlastnú redukciu varianty PHP na problematiku súvisiacu s hľadaním ciest v grafe. Pojednávame o redukovaní hladania kolízií vo viacerých funkciach na hľadanie kolízie v jednej. Klíčová slova: NP vyhľadávanie, redukcie, pigeonhole principle, orákula
|
|
|
Dôkazy bezespornosti aritmetiky
Horská, Anna ; Pudlák, Pavel (vedoucí práce) ; Hrubeš, Pavel (oponent) ; Buss, Samuel (oponent)
Táto práca pozostáva z dvoch častí. Prvá čast sa zaoberá Gentze- novým dôkazom bezespornosti Peanovej aritmetiky (PA), ktorý pochádza z roku 1935. Skúmame hlavne Gentzenovu stratégiu eliminácie rezu, ktorá eliminuje rezy, ktorých premisy majú bezrezové odvodenia. Neberie sa pritom ohl'ad na zložitost' eliminovaného rezu. Naša analýza Gentzenovej stratégie ukázala, že Gentzen vo svojom dôkaze implicitne využíva transfinitnú induk- ciu po Φω(0), kde Φω je Veblenova funkcia s poradovým číslom ω. Jedná sa o horný odhad a hodnota Φω(0) je horný odhad na výšku nekonečných bezrezových odvodení, ktoré Gentzen konštruuje pre sekventy dokazatel'né v PA. V súčasnosti nemáme výsledky o spodnom odhade. Prvá čast' d'alej obsahuje formalizáciu tohto Gentzenovho dôkazu. Na základe nej vidíme, že hore spomínaná transfinitná indukcia je jediný princíp použitý v dôkaze, ktorý nejde formalizovat' v PA. Druhá čast' porovnáva Gentzenovu a Taitovu stratégiu eliminácie rezu v kla- sickej výrokovej logike. Taitova stratégia znižuje tzv. cut-rank odvodenia. Ked'že výroková logika nepoužíva odvodzovacie pravidlá s vlastnými pre- mennými, s tzv. eigenvariables, podarilo sa nám nadefinovat' elimináciu rezu tak, že obe stratégie dávajú v...
|
|
| |
|
| |
|
|
In the Light of Intuitionism: Two Investigations in Proof Theory
Akbartabatabai, Seyedamirhossein ; Pudlák, Pavel (vedoucí práce) ; Beckmann, Arnold (oponent) ; Iemhoff, Rosalie (oponent)
Vo svetle intuicionizmu: dve štúdie v teórii dôkazov Táto práca pojednáva o dvoch špecifických aspektoch vzt'ahu medzi klasickou a intuicionistickou teóriou dôkazov. V prvej časti zavedieme, s použitím odvodení v klasickej aritmetike, formalizáciu pre Gödelov neformálny výklad BHK interpretácie. Gödelova interpretácia dokazatel'nosti pre intuicionistic- kú výrokovú logiku bola prvý raz publikovaná v [1]. Definoval tu modálny systém S4 ako formalizáciu pre intuitívny koncept dokazatel'nosti, a po- tom preložil IPC na S4 pri zachovaní korektnosti a úplnosti. Gödelova práca navrhuje hl'adat' interpretáciu dokazatel'nosti pre modálnu logiku S4 s použitím aritmetických dôkazov, ktorá samotná vedie k takejto interpretácii dokazatel'nosti pre intuicionistickú logiku. V prvej kapitole sa pokúsime vyriešit' tento problém. Zovšeobecníme Solovayovu interpretáciu dokazatel'- nosti pre modálnu logiku GL, aby sme zachytili iné modálne logiky, konkrétne K4, KD4 a S4. S použitím už spomínaného Gödelovho prekladu navrhneme formalizáciu BHK interpretácie pomocou dôkazov v klasickej logike. Ako dôsledok ukážeme, že BHK interpretácia je dostatočne silná a umožňuje viacero rôznych formalizácií, ktoré prekvapivo zachytávajú rôzne výrokové logiky...
|
|
|
Graph communication protocols
Folwarczný, Lukáš ; Pudlák, Pavel (vedoucí práce) ; Sgall, Jiří (oponent)
Grafové komunikační protokoly jsou zobecněním klasických komunikačních protokolů na případ, kdy je grafem protokolu orientovaný acyklický graf. Motivováni možnými aplikacemi v důkazové složitosti studujeme varianty grafových komunikačních protokolů a vztahy mezi nimi. Hlavním výsledkem je porovnání síly dvou typů protokolů, protokolů s rovností a protokolů s konjunkcí konstantního počtu nerovností. Dokazujeme, že protokoly prvního typu jsou alespoň tak silné jako protokoly druhého typu v následujícím smyslu: Necht' f je booleovská funkce. Pokud existuje protokol s konjunkcí konstantního počtu nerovností polynomiální velikosti řešící f, pak existuje protokol s rovností polynomiální velikosti řešící f. Rovněž zavádíme dva nové typy grafových komunikačních protokolů, protokoly s disjunktností a protokoly s nedisjunktností, a dokazujeme, že protokoly prvního typu jsou alespoň tak silné jako doposud uvažované protokoly a že protokoly druhého typu jsou příliš silné na to, aby mohly být aplikovány.
|
|
|
Dôkazy bezespornosti aritmetiky
Horská, Anna ; Pudlák, Pavel (vedoucí práce) ; Hrubeš, Pavel (oponent) ; Buss, Samuel (oponent)
Táto práca pozostáva z dvoch častí. Prvá čast sa zaoberá Gentze- novým dôkazom bezespornosti Peanovej aritmetiky (PA), ktorý pochádza z roku 1935. Skúmame hlavne Gentzenovu stratégiu eliminácie rezu, ktorá eliminuje rezy, ktorých premisy majú bezrezové odvodenia. Neberie sa pritom ohl'ad na zložitost' eliminovaného rezu. Naša analýza Gentzenovej stratégie ukázala, že Gentzen vo svojom dôkaze implicitne využíva transfinitnú induk- ciu po Φω(0), kde Φω je Veblenova funkcia s poradovým číslom ω. Jedná sa o horný odhad a hodnota Φω(0) je horný odhad na výšku nekonečných bezrezových odvodení, ktoré Gentzen konštruuje pre sekventy dokazatel'né v PA. V súčasnosti nemáme výsledky o spodnom odhade. Prvá čast' d'alej obsahuje formalizáciu tohto Gentzenovho dôkazu. Na základe nej vidíme, že hore spomínaná transfinitná indukcia je jediný princíp použitý v dôkaze, ktorý nejde formalizovat' v PA. Druhá čast' porovnáva Gentzenovu a Taitovu stratégiu eliminácie rezu v kla- sickej výrokovej logike. Taitova stratégia znižuje tzv. cut-rank odvodenia. Ked'že výroková logika nepoužíva odvodzovacie pravidlá s vlastnými pre- mennými, s tzv. eigenvariables, podarilo sa nám nadefinovat' elimináciu rezu tak, že obe stratégie dávajú v...
|
|
|
Complexity theory in Feasible Mathematics
Pich, Ján ; Krajíček, Jan (vedoucí práce) ; Pudlák, Pavel (oponent) ; Buss, Samuel (oponent)
Skúmame dokázateľnosť tvrdení z teórie zložitosti v obmedzenej aritmetike. Za istých zložitostných predpokladov ukážeme, že teórie so slabšími dosvedčovacími vlastnosťami než $S^1_2$ nemôžu dokázať spodné odhady veľkosti $n^k$ na booleovské obvody pre SAT vyjadrené formulou $LB(SAT,n^k)$. Špeciálne, prvorádová teória pravdivých univerzálnych tvrdení v jazyku obsahujúcom symboly pre všetky uniformné $NC^1$ algoritmy nedokazuje $LB(SAT,n^{4kc})$ pre $k\geq 1,c\geq 2$ predpokladajúc existenciu funkcie $f\in SIZE(n^k)$, ktorá nie je aproximovateľná formulami $F_n$ subexponenciálnej veľkosti $2^{O(n^{1/c})}$ so subexponenciálnou výhodou: $P_{x\in\{0,1\}^n}[F_n(x)=f(x)]\geq 1/2+1/2^{O(n^{1/c})}$. Bezpodmienečne, teória $V^0$ nedokazuje kvazipolynomiálne spodné odhady na booleovské obvody pre SAT. Čo sa týka horných odhadov, dokážeme PCP vetu v Cookovej teórii $PV_1$. To zahŕňa formalizáciu $(n,d,\lambda)$-grafov v $PV_1$. Ako dôsledok dostaneme polynomiálne krátke Extended Frege dôkazy tautologií vyjdadrujúcich PCP vetu. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Metody odhadů složitosti důkazů ve výrokové logice
Peterová, Alena ; Pudlák, Pavel (vedoucí práce) ; Krajíček, Jan (oponent)
V této práci se věnujeme složitosti důkazových systémů pro výrokovou logiku. Nejprve ukážeme exponenciální dolní odhad na složitost rezoluce přímou aplikací Razborovovy aproximační metody, která byla dosud používána pouze pro odhady na velikost monotónních obvodů. Následně použijeme aproximační metodu i pro nový důkaz exponenciálního dolního odhadu na složitost náhodných rezolučních důkazů. To by mělo mít další využití při separování různých teorií v omezené aritmetice. V obou případech využijeme problém z teorie grafů zvaný Broken Mosquito Screens. Na závěr vyslovíme hypotézu, že aproximační metoda bude mít využití i v silnějších důkazových systémech, jako například Cutting Planes. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
host ::
RSS.