|
|
Duhové aritmetické posloupnosti a extremální množiny v mřížkách
Voborník, Jan ; Šámal, Robert (vedoucí práce) ; Pangrác, Ondřej (oponent)
Když jsou čísla $1,\ldots,tn$ obarvena $t$ barvami (každá je užita $n$-krát), existuje mezi nimi duhová aritmetická posloupnost délky $k$. (Duhová aritmetická posloupnost je taková, která nemá žádné dva členy stejné barvy.) Toto platí pro $t>k^3$. Označme $T_k$ nejmenší takové $t$, pro které to platí. Hypotéza Jungiće a spol. říká, $T_k=O(k^2)$. Problém souvisí s extremálními problémy diskrétních hyperkrychlí. Představujeme metodu s mřížkami (diskrétní hyperkrychle, které mohou obsahovat nerozlišitelné prvky), která může vést k vylepšení odhadu $T_k$ až na $O(k^2\log k)$. V práci vyřešíme několik extremálních problémů v mřížkách, které mají důsledky v různých partiích matematiky. Například pomocí mřížek dokážeme hranovou isoperimetrickou nerovnost pro Hammingovu krychli, nalezneme bipartitní graf s maximálním součtem druhých mocnin stupňů a konvexní množinu $M\subseteq [0,b]\times[0,a]$ maximalizující funkci $G(M)=\int_{x=0}^a \lambda_1(M_x)^2+\int_{y=0}^b \lambda_1(M_y)^2$. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Duhové aritmetické posloupnosti a extremální množiny v mřížkách
Voborník, Jan ; Šámal, Robert (vedoucí práce) ; Pangrác, Ondřej (oponent)
Když jsou čísla $1,\ldots,tn$ obarvena $t$ barvami (každá je užita $n$-krát), existuje mezi nimi duhová aritmetická posloupnost délky $k$. (Duhová aritmetická posloupnost je taková, která nemá žádné dva členy stejné barvy.) Toto platí pro $t>k^3$. Označme $T_k$ nejmenší takové $t$, pro které to platí. Hypotéza Jungiće a spol. říká, $T_k=O(k^2)$. Problém souvisí s extremálními problémy diskrétních hyperkrychlí. Představujeme metodu s mřížkami (diskrétní hyperkrychle, které mohou obsahovat nerozlišitelné prvky), která může vést k vylepšení odhadu $T_k$ až na $O(k^2\log k)$. V práci vyřešíme několik extremálních problémů v mřížkách, které mají důsledky v různých partiích matematiky. Například pomocí mřížek dokážeme hranovou isoperimetrickou nerovnost pro Hammingovu krychli, nalezneme bipartitní graf s maximálním součtem druhých mocnin stupňů a konvexní množinu $M\subseteq [0,b]\times[0,a]$ maximalizující funkci $G(M)=\int_{x=0}^a \lambda_1(M_x)^2+\int_{y=0}^b \lambda_1(M_y)^2$. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
|
|
|
Extremální vlastnosti hypergrafů
Mach, Lukáš ; Kráľ, Daniel (vedoucí práce) ; Kaiser, Tomáš (oponent)
V t\'eto pr\'aci pod\'ame p\v rehled o n\v ekter\'ych ned\'avn\'ych v\'ysledc\' ich o skoc\'ich v hypergrafech v oblasti exterm\'aln\'i kombinatoriky. \v C\'islo $\alpha \in [0, 1)$ je skok pro $r$, pokud pro ka\v zd\'e $\epsilon > 0$ a ka\v zd\'e cel\'e \v c\'islo $m \ge r$ jak\'ykoliv $r$-graf na $N > N(\epsilon, m)$ vrcholech a s alespo\v n $(\alpha + \epsilon) {N \choose r}$ hranami obsahuje podgraf na $m$ vrcholech s alespo\v n $(\alpha + c) {m \choose r}$ hranami, kde $c := c(\alpha)$ z\'avis\' i pouze na $\alpha$. Baber a Talbot \cite{Baber} ned\'avno uk\'azali prvn\'i p\v r\'iklad existence skoku pro $r = 3$ v intervalu $[2/9, 1)$. Jejich v\'ysledek pou\v z\'iv\'a kalkul flag algeber \cite{Raz07}, kter\'y vede k re\v sen\'i probl\'emu semidefinitn\'i optimalizace. Sou\v c\'ast\'i pr\'ace je softwarov\'a implementace jejich metody.
|
host ::
RSS.