|
|
Konvexně nezávislé podmnožiny konečných množin bodů
Zajíc, Vítězslav ; Valtr, Pavel (advisor) ; Cibulka, Josef (referee)
Let fd(n), n > d ≥ 2, be the smallest positive integer such that any set of fd(n) points, in general position in Rd , contains n points in convex position. Let hd(n, k), n > d ≥ 2 and k ≥ 0, denote the smallest number with the property that in any set of hd(n, k) points, in general position in Rd , there are n points in convex position whose convex hull contains at most k other points. Previous result of Valtr states that h4(n, 0) does not exist for all n ≥ 249. We show that h4(n, 0) does not exist for all n ≥ 137. We show that h3(8, k) ≤ f3(8) for all k ≥ 26, h4(10, k) ≤ f4(10) for all k ≥ 147 and h5(12, k) ≤ f5(12) for all k ≥ 999. Next, let fd(k, n) be the smallest number such that in every set of fd(k, n) points, in general position in Rd , there are n points whose convex hull has at least k vertices. We show that, for arbitrary integers n ≥ k ≥ d + 1, d ≥ 2, fd(k, n) ≥ (n − 1) (k − 1)/(cd logd−2 (n − 1)) , where cd > 0 is a constant dependent only on the dimension d. 1
|
|
|
On the interior of a minimal convex polygon
Šplíchal, Ondřej ; Valtr, Pavel (advisor) ; Rataj, Jan (referee)
Zvolme konečnou množinu bod· P v rovině v obecné poloze, tj. žádné 3 body neleží na přímce. Konvexní n-úhelník je minimální, pokud v jeho konvexním obalu neleží jiný konvexní n-úhelník s vrcholy v P. Erd®s a Szekeres (1935) ukázali, že pro každé n ≥ 3 existuje minimální číslo ES(n) takové, že mezi libovolnými ES(n) body v rovině v obecné poloze lze vybrat n bod·, které tvoří vrcholy konvexního n-úhelníku. Z jejich tvrzení vyplývá, že v topologic- kém vnitřku minimálního konvexního n-úhelníku m·že ležet jen omezený po- čet bod· P pro libovolnou volbu P. Označíme maximální takový počet jako mci(n). V práci ukážeme horní odhad mci(n) ≤ ES(n) − n a spodní odhad 2n−3 − n + 2 ≤ mci(n) pro n ≥ 3.
|
|
|
Konvexně nezávislé podmnožiny konečných množin bodů
Zajíc, Vítězslav ; Valtr, Pavel (advisor) ; Cibulka, Josef (referee)
Let fd(n), n > d ≥ 2, be the smallest positive integer such that any set of fd(n) points, in general position in Rd , contains n points in convex position. Let hd(n, k), n > d ≥ 2 and k ≥ 0, denote the smallest number with the property that in any set of hd(n, k) points, in general position in Rd , there are n points in convex position whose convex hull contains at most k other points. Previous result of Valtr states that h4(n, 0) does not exist for all n ≥ 249. We show that h4(n, 0) does not exist for all n ≥ 137. We show that h3(8, k) ≤ f3(8) for all k ≥ 26, h4(10, k) ≤ f4(10) for all k ≥ 147 and h5(12, k) ≤ f5(12) for all k ≥ 999. Next, let fd(k, n) be the smallest number such that in every set of fd(k, n) points, in general position in Rd , there are n points whose convex hull has at least k vertices. We show that, for arbitrary integers n ≥ k ≥ d + 1, d ≥ 2, fd(k, n) ≥ (n − 1) (k − 1)/(cd logd−2 (n − 1)) , where cd > 0 is a constant dependent only on the dimension d. 1
|
guest ::
