|
| |
|
|
Sigma-porous sets and the differentiation theory
Koc, Martin ; Zajíček, Luděk (vedoucí práce) ; Zelený, Miroslav (oponent) ; Kolář, Jan (oponent)
disertační práce Název práce:: Sigma-pórovité množiny a teorie derivací Autor: Martin Koc Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí disertační práce: Prof. RNDr. Luděk Zajíček, DrSc., Katedra matematické analýzy Abstrakt: Práce sestává z pěti odborných článků. V prvním z nich je ukázáno, že existuje uzavřená shora pórovitá (v silném smyslu) podmnožina neprázdného topologicky úplného metrického prostoru bez izolovaných bodů, která není σ-zdola pórovitá (ve slabém smyslu). Ve druhém článku je zaveden nový pojem pórovitosti vzhle- dem k míře, který zobecňuje horní pórovitost míry. Je zkoumáno několik přiroze- ných definic tohoto pojmu. Hlavním výsledkem této kapitoly je dekompoziční věta pro množiny σ-pórovité vzhledem k míře. Třetí článek se zabývá množinami bodů, v nichž jsou libovolné reálné funkce lipschitzovské z jedné strany a zároveň nejsou lipschitzovské z druhé strany. Je ukázána úplná charakterizace systému generovaného množinami tohoto typu. Ve čtvrtém článku je dokázáno několik výsledků o vztazích mezi metrickými derivovanými čísly funkcí s hodnotami v metrických prostorech. Poslední kapitola se zabývá existencí diferencovatelných rozšíření pro funkce definované...
|
|
| |
|
| |
|
|
Perfektní funkce první třídy
Skovajsa, Břetislav ; Spurný, Jiří (vedoucí práce) ; Zajíček, Luděk (oponent)
Široká třída problémů v matematické analýze se dá popsat jako hledání vlastností V takových, že pro každé F z předem daného systému zobrazení F mezi prostory K a L má libovolná reálná funkce na prostoru L vlastnost V právě tehdy, pokud ji má její složení s F. Práce se inspiruje v [1], kde je tento problém zkoumán v podobě stability funkcí Baireových tříd na kompaktních topologických prostorech vůči složení se spojitým zobrazením. Cílem práce bude seznámit se s původním výsledkem, mírně jej zlepšit na kompaktních metrických prostorech, pak se blíže podívat na jemnější strukturu B1 funkcí a zkusit v tomto prostředí najít podobný druh stability. [1] J. Lukeš, J. Malý, I. Netuka, J. Spurný, Integral representation theory: ap- plications to convexity, Banach spaces and potential theory, Walter de Gruyter (2010).
|
|
| |
|
|
Deskriptivní vlastnosti množin v Banachových prostorech
Kurka, Ondřej ; Holický, Petr (vedoucí práce) ; Zajíček, Luděk (oponent)
Podstatná část práce je věnována studiu množin fréchetovské subdiferencovatelnosti z hlediska deskritpnivní teorie množin. Jsou podána důkazy již známých výsledků L. Zajíčka, P. Holického, M. Laczkoviche a M. Šmídka. Novým výsledkem je, že na každém nereflexivním Banachově prostoru existuje lipschitzovská funkce s neborelovskou množinou fréchetovské subdiferencovatelnosti. Jsou také zkoumány borelovské třídy množim fréchetovské subdiferencovatelnosti spojitých funkcí na reflexních prostorech. Dále jsou zkoumány některé množiny posloupností v Banachových prostorech. Je předveden modifikovaný důkaz věty R. kaufmana, která říká, že každý nereflexivní Banachův prostor lze přenormovat tak, aby množina funkcionálů nabývajících normy nebyla borelovská. Je dokázána charakterizace Banachových prostorů, které nejsou kvazireflexivní.
|
|
| |
|
|
Vlastnosti sigma-pórovitých množin
Rmoutil, Martin ; Zajíček, Luděk (vedoucí práce) ; Zelený, Miroslav (oponent)
V předložené práci dokazujeme několik nových výsledků týkajících se pórovitých a -pórovitých množin. V prvních dvou kapitolách práce zkoumáme některé otázky v R, zatímco v kapitole třetí se soustředíme na zcela jiný problém v kontextu obecných topologicky úplných metrických prostorů. V první kapitole konkrétně dokážeme, že množina Ad všech reálných čísel x 2 (0, 1), v jejichž desetinném rozvoji se cifra 9 vyskytuje s hustotou d 2 (0, 1), není -pórovitá. Tento relativně obtížný výsledek je nový, sámo sobě však nemá valného významu; odpovídá pouze na přirozenou otázku vycházející z článku L. Zajíčka [8]. Hlavním výsledkem druhé kapitoly je výrazné zesílení následujícího výsledku R.J. Najárese a L. Zajíčka z článku [5]: Existuje uzavřená množina F R, která je zprava pórovitá, ale není -zleva pórovitá. Potvrzuje se tedy, že v kontextu jakéhokoli pojmu "horní pórovitosti (tj. pórovitosti definované pomocí limsup) nelze očekávat žádnou souvislost mezi pórovitostí dané množiny zleva a zprava. Z další práce [10] L. Zajíčka vyplývá následující otázka: Buďte A X a B Y dvě G -podmnožiny topologicky úplných metrických prostorů X a Y , které v těchto prostorech nejsou -zdola pórovité. Je nutně pravda, že jejich součin A × B také není -zdola pórovitý? Článek [10] dává kladnou odpověď na stejnou otázku s horní...
|
|
| |
host ::
RSS.