|
|
Optimal function spaces in weighted Sobolev embeddings with monomial weight
Drážný, Ladislav ; Mihula, Zdeněk (vedoucí práce) ; Vybíral, Jan (oponent)
V této práci studujeme jistou váženou Sobolevovu nerovnost pro funkce z daného Sobolevova prostoru, jenž je vybudován nad prostorem s normou nezávisející na pře- rovnání. Uvažované prostory s normou nezávisející na přerovnání jsou zavedeny na pro- storu Rn s váženou mírou, jež je definována pomocí monomiální váhy. V práci dokážeme redukční princip pro danou Sobolevovu nerovnost. Redukční princip představuje metodu, jak za použití nerovností zahrnujících funkce pouze jedné proměnné charakterizovat pro- story s normou nezávisející na přerovnání, jež splňují zkoumanou Sobolevovu nerovnost. Pro pevně zvolený prostor s normou nezávisející na přerovnání dále nalezneme optimální, tedy nejmenší, prostor s normou nezávisející na přerovnání, jenž splňuje Sobolevovu ne- rovnost. Nakonec odvodíme charakterizaci těchto optimálních prostorů pro Lorentzovy- Karamatovy prostory. 1
|
|
|
Properties of integral operators on Orlicz spaces
Beránek, Tomáš ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Mihula, Zdeněk (oponent)
V mnoha různých odvětvích matematické analýzy se při práci s prostory funkcí ob- jevují problémy optimality, kdy se otázka výběru jak přístupného, tak expresivního prostoru funkcí stává netriviální. Dobrou střední cestu poskytují Orliczovy prostory, které jsou parametrizovány jednou Youngovou funkcí, a jsou tak přístupné a rozsáhlé. V této práci studujeme problémy optimality Sobolevových vnoření na Maz'yovských třídách Eukleidovských oblastí, které jsou definovány pomocí jejich isoperimetrického chování. Dokážeme neexistenci optimálních Orliczových prostorů v určitých Orliczových- Sobolevových vnořeních v limitní (kritické) situaci, jejíž zásadním speciálním případem je vnoření Brezise a Waingera pro Johnovy oblasti. 1
|
|
|
Classical operators of harmonic analysis and Sobolev embeddings on rearrangement-invariant function spaces
Mihula, Zdeněk ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Cianchi, Andrea (oponent) ; Persson, Lars-Erik (oponent)
Je zkoumána omezenost jistých klasických operátorů harmonické analýzy (jmenovitě Hilbertova a Rieszova transformace, Rieszovy potenciály a (frakční i nefrakční) maximální operátory) a platnost jistých sobolevových vnoření na celém prostoru. Kompaktnost ope- rátoru stop pro Sobolevovy prostory je také zkoumána. Důraz je kladen na optimalitu výsledků ve třídě prostorů funkcí s normou invariantní vůči nerostoucímu přerovnání. Zmíněné problémy jsou zredukovány na ekvivalentní problémy týkající se vhodných ope- rátorů Hardyho typu, které jsou definovány na funkcích jedné proměnné. Chování těchto operátorů Hardyho typu na prostorech funkcí s normou invariantní vůči nerostoucímu přerovnání je zkoumáno jako první. Výsledky týkající se operátorů Hardyho typu jsou poté použity jako stavební kameny, ze kterých spolu se známými výsledky z literatury jsou ostatní výsledky odvozeny. Pro ilustraci možného použití jsou obecné výsledky doprová- zeny konkrétními příklady. Výsledky prezentované v této disertační práci jsou založeny na výsledcích z některých článků, jichž je autor této práce autorem či spoluautorem. 1
|
|
|
Kompaktní a slabě kompaktní operátory v Banachových prostorech funkcí
Drážný, Ladislav ; Spurný, Jiří (vedoucí práce) ; Mihula, Zdeněk (oponent)
Práce studuje vlastnosti kompaktních integrálních operátorů v Banachových prosto- rech funkcí. Nejprve jsou v ní představeny Banachovy prostory funkcí a jejich základní vlastnosti. Následně jsou v ní uvedeny vlastnosti slabě sekvenciálně kompaktních množin v Banachových prostorech funkcí. Hlavním výsledkem práce je charakterizace kompakt- ních integrálních operátorů s Lρ-jádrem, což je specifický druh integrálního jádra. Při této charakterizaci jsou využity vlastnosti množin se stejnoměrně absolutně spojitou normou. Nakonec jsou v práci popsány některé vlastnosti prostoru L1 ([0, 1]) a je zde vyšetřena kompaktnost Volterrova operátoru na tomto prostoru. 1
|
|
|
Optimality of function spaces for classical integral operators
Mihula, Zdeněk ; Pick, Luboš (vedoucí práce)
V práci je zkoumána otázka optimality prostorů funkcí invariantních vůči ne- rostoucímu přerovnání vzhledem k Hilbertově transformaci a Rieszovu potenciálu. Pro tyto operátory je zde plně charakterizována optimalita v rámci této třídy pro- storů funkcí. Získané výsledky nám umožňují konstruovat optimální zdrojové (tj. co největší) a optimální cílové (tj. co nejmenší) prostory, když je druhý prostor zafixován. Tyto výsledky jsou ilustrovány na netriviálních příkladech pomocí zo- becněných Lorentz-Zygmundových prostorů se " zlomenou logaritmickou funkcí" (broken logarithmic function). Použité metody jsou prezentovány tak, aby je bylo možné snadno upravit na další operátory podobného typu. 1
|
|
|
Optimality of function spaces for classical integral operators
Mihula, Zdeněk ; Pick, Luboš (vedoucí práce)
V práci je zkoumána otázka optimality prostorů funkcí invariantních vůči ne- rostoucímu přerovnání vzhledem k Hilbertově transformaci a Rieszovu potenciálu. Pro tyto operátory je zde plně charakterizována optimalita v rámci této třídy pro- storů funkcí. Získané výsledky nám umožňují konstruovat optimální zdrojové (tj. co největší) a optimální cílové (tj. co nejmenší) prostory, když je druhý prostor zafixován. Tyto výsledky jsou ilustrovány na netriviálních příkladech pomocí zo- becněných Lorentz-Zygmundových prostorů se " zlomenou logaritmickou funkcí" (broken logarithmic function). Použité metody jsou prezentovány tak, aby je bylo možné snadno upravit na další operátory podobného typu. 1
|
|
|
Optimality of function spaces for classical integral operators
Mihula, Zdeněk ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Vybíral, Jan (oponent)
V práci je zkoumána otázka optimality prostorů funkcí invariantních vůči ne- rostoucímu přerovnání vzhledem k Hilbertově transformaci a Rieszovu potenciálu. Pro tyto operátory je zde plně charakterizována optimalita v rámci této třídy pro- storů funkcí. Získané výsledky nám umožňují konstruovat optimální zdrojové (tj. co největší) a optimální cílové (tj. co nejmenší) prostory, když je druhý prostor zafixován. Tyto výsledky jsou ilustrovány na netriviálních příkladech pomocí zo- becněných Lorentz-Zygmundových prostorů se " zlomenou logaritmickou funkcí" (broken logarithmic function). Použité metody jsou prezentovány tak, aby je bylo možné snadno upravit na další operátory podobného typu. 1
|
|
|
Function Spaces and Algebras
Mihula, Zdeněk ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Hencl, Stanislav (oponent)
Hlavním cílem této práce je rozhodnout, kdy je prostor funkcí ekvivalentní algebře, tj. kdy je uzavřený na bodové násobení funkcí. Nejprve je uvedena teorie určitých prostorů funkcí, konkrétně Lebesgueovy Lp prostory, třída Banachových prostorů funkcí, Banachovy prostory funkcí invariantní vůči nerostoucímu přerovnání, Morreyovy prostory, Campanatovy prostory a prostor slabé-L∞ . Poté je dokázána nutná podmínka k tomu, aby byl prostor funkcí ekvivalentní algebře. Dále je dokázána také postačující podmínka. V každé z těchto dvou podmínek hraje klíčovou roli prostor L∞ . Jako důsledek dále získáme charakterizaci, kdy je Banachův prostor funkcí ekvivalentní algebře. Poté je uvedeno několik příkladů, které ilustrují možné využití získaných výsledků. Následně je uvážen speciální případ těch Banachových prostorů funkcí, které jsou invariantní vůči nerostoucímu přerovnání. Nakonec je otázka, kdy je prostor funkcí ekvivalentní algebře, zodpovězena pro prostory uvedené na začátku. 1
|
host ::
RSS.