|
|
Polomřížky a nerozložitelné prvky
Kuděj, Martin ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Korbelář, Miroslav (oponent)
Tato práce se zabývá teorií polomřížek, což jsou netriviální diskrétní podmo- noidy v Rn se sčítáním, které jsou obsaženy v nějakém kuželi. Speciální pozornost je věnována jejich nerozložitelným prvkům. Nejdůležitější případ polomřížek je odvozen z reálných kvadratických číselných těles, kterému je věnována značná část práce a charakterizace nerozložitelných prvků těchto polomřížek je v práci doká- zána dvěma způsoby, k čemuž je využito různých partií z teorie čísel, především se jedná o řetězové zlomky, k nim příslušné polokonvergenty a jejich aproximační vlastnosti, Fareyho dvojice, ale také je použita algebraická teorie čísel. Závěrečná část práce je dále věnována hornímu odhadu normy nerozložitelných prvků v po- lomřížce, odpovídající Minkowského vnoření příslušného číselného tělesa. 1
|
|
|
Universal quadratic forms over orders in number fields
Krásenský, Jakub ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Nebe, Gabriele (oponent) ; Becher, Karim Johannes (oponent)
Práce se zabývá kvadratickými formami a mřížemi nad okruhy celistvých prvků v čí- selných tělesech a částečně také nad nemaximálními řády. Důraz je kladen na otázku univerzality forem a mříží a na související pojem Pythagorova čísla. Zkoumáme téměř výlučně totálně pozitivně definitní formy a mříže nad totálně reálnými tělesy, neboť se jedná o zřejmě nejobtížnější případ a jejich chování je těžko předvídatelné. Někde budujeme obecnou teorii platnou pro číselná tělesa libovolného stupně - zvláště když studujeme kvadratický Waringův problém -, zatímco jinde prezentujeme významné a po- drobné výsledky pro konkrétní rodiny těles nízkého stupně. Tím sledujeme několik cílů: Získané výsledky jsou zajímavé a přímo navazují na otázky zkoumané velikány, jako byl Siegel; také ilustrujeme a dále rozvíjíme různé techniky a nástroje, použitelné i v jiných situacích; a konečně formulujeme domněnky a otevřené otázky, které mohou inspirovat budoucí výzkum. Zvláštní důraz je kladen na reálná bikvadratická tělesa; první dvě ka- pitoly významně přispívají k teorii celočíselných kvadratických forem nad nimi. 1
|
|
|
RSA in number fields and on lattices
Kucka, Filip Miroslav ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Šůstek Vyhnalová, Sára (oponent)
Táto práca sa zaoberá algoritmom RSA popísaneho na číselných telesách a mriežkach. Konkrétne ide o rozšírenie článku High Dimensional RSA od autorov Zheng a Liu. V práci pomocou viet a príkladov dôkladne popisujeme teóriu potrebnú pre vytvorenie algoritmu, pričom využívame najmä poznatky z algebraickej teórie čísel a teórie mriežok. V druhej kapitole popisujeme RSA iba na číselných telesách, vysvetľujeme jeho problémy a po- trebu prechodu do mreižok. V tretej kapitole dôkladne popisujeme vlastnosti ideálových matíc, definujeme vektorové násobenie v Rn a na konci dokazujeme okruhový izomorfiz- mus K ≃ Qn ≃ M∗ Q. Vo štvrtej kapitole sa venujeme dôkazu okruhovému izomorfizmu Z[x]/(mθ(x)) ≃ OK ≃ Zn ≃ M∗ Z, definujeme ideálové mriežky a budujeme potrebnú teóriu nad mriežkami pre RSA. Záverečná kapitola obsahuje kompletný algoritmus aj s názorným príkladom. 1
|
|
|
Cyklotomická rozšíření a Kronecker-Weberova věta
Jarrahová, Veronika ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Francírek, Pavel (oponent)
V této práci dokážeme Kronecker-Weberovu větu, která říká, že každé abelovské roz- šíření tělesa racionálních čísel je podtělesem nějakého cyklotomického tělesa. Tato věta se tradičně dokazuje pomocí teorie třídových těles, ale my zpracujeme alternativní relativně elementární důkaz využívající Galoisovu teorii a algebraickou teorii čísel. Zavedeme nej- prve potřebnou teorii a nové pojmy ukážeme na příkladu. Klíčovou částí celého důkazu bude dokázat, že Kronecker-Weberova věta platí pro abelovská rozšíření stupně mocniny prvočísla, kde se větví jen toto prvočíslo. Z toho pak už relativně snadno dokážeme, že pak platí věta pro obecná abelovská rozšíření. 1
|
|
|
Struktura zobecněných Pythagorejských trojic
Hlavinková, Simona ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Krásenský, Jakub (oponent)
Hlavnou motiváciou pre našu prácu je popísanie zovšeobecnených pytagorejských tro- jíc. Tento problém prevedieme na problém hľadania riešenia rovnice |x2 + Dy2 | = z2 . Cieľom tejto práce je podrobne dokázať štruktúru a počet riešení rovnice |x2 +Dy2 | = z2 pre −D ≡ 2, 3 (mod 4) bezštvorcové. Dôkazy čiastkových lem budeme robiť v ideálovej triednej grupe číselného telesa Q[ √ −D]. Najprv dokážeme lemu, ktorá nám dá nevy- hnutné podmienky pre existenciu riešenia. Popíšeme súvislosť jednoznačnosti, respektíve nejednoznačnosti riešenia a voľby D. Kľúčovým krokom dôkazu je vyjadrenie riešenia v špeciálnom tvare. Zároveň uvedieme príklady štruktúr ideálových triednych grup pre rôzne číselné telesá. 1
|
|
|
Partitions of totally positive elements in real quadratic fields
Stern, David ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Gil Muñoz, Daniel (oponent)
V práci uvažujeme aditivní pologrupu O+ K(+) totálně kladných čísel v reálných kvad- ratických tělesech K = Q( √ D). Na O+ K(+) definujeme funkci pK(α) pro rozklady těchto čísel a navrhneme algoritmus, který počítá pK(α) pro různá bezčtvercová D a pro různá α ∈ O+ K. Dále analyzujeme chování funkce pK(α), přičemž charakterizujeme bezčtvercová D, pro která pK(α) nabývá hodnot 1 až 5. Nakonec ukážeme dostačující podmínku pro to, aby pK(α) nabývala hodnoty 6. 1
|
|
|
Adeles and class fields
Tížková, Bára ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Gajović, Stevan (oponent)
Prvním cílem práce je studovat okruh adelů a grupu idelů a detailně se věnovat jejich topologii. Vysvětlíme vztah mezi topologií zúženého součinu a jinými topologiemi, které se na těchto objektech zdají přirozené. Dále studujeme jejich kompaktnostní vlastnosti. Druhým cílem práce je shrnout hlavní výsledky teorie třídových těles v jazyku ideálů a idelů a ilustrovat nově zavedené pojmy na příkladech. Stručně řečeno, teorie třídových tě- les popisuje abelovská rozšíření daného číselného tělesa pomocí vnitřní aritmetiky tohoto tělesa. Ukážeme, jak tento popis funguje na příkladě dvou konkrétních typů abelovských rozšíření, a poté vše zobecníme. Abychom obecné výsledky teorie třídových těles prezen- tovali v co možná nejpřístupnější formě, používáme a sjednocujeme obsah z více zdrojů. Zatímco jazyk ideálů je přirozenějším přístupem, nese s sebou nepříjemnosti spojené s rozlišováním, které prvoideály se v daném rozšíření štěpí. Tento problém řeší právě jazyk idelů, kterému se věnujeme v poslední kapitole. 1
|
|
|
Fourierova transformace na polytopech a dláždění obdélníky
Couf, František ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Čech, Martin (oponent)
Cílem této práce je podrobné zpracování důkazů tvrzení o pěkných intervalech v libo- volných d dimenzích a vlastnosti harmonických intervalů. Nejprve zavedeme pojmy pěkný obdélník a dláždění množiny. Poté rozšíříme pěkný obdélník na pěkný d-rozměrný uza- vřený interval. Následně dokážeme hlavní větu (uzavřený interval vydlážděný pěknými uzavřenými intervaly je také pěkný) pro d dimenzí. Poté zavedeme pojem harmonický interval a podrobně dokážeme několik důležitých tvrzení o dláždění harmonickými inter- valy. Jejich předpoklady demonstrujeme na příkladech, které jejich důležitost vystihují. V závěru poslední kapitoly pro intervaly s celočíselnými hranami dáme do souvislosti pojmy harmonický interval a násobek intervalu. 1
|
|
|
Geometrické řešení kvadratických diofantických rovnic
Lněničková, Daniela ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Krásenský, Jakub (oponent)
Hlavní motivací práce je shrnutí a zobecnění metody na řešení kvadratických diofantic- kých rovnic. Problém hledání řešení diofantických rovnic převedeme na hledání průsečíků přímek a dané kvadriky. Teorie pracuje s obecným tělesem a je schopná řešit rovnice ve- doucí na kvadriky o n neznámých. Pak teorii aplikujeme na vyřešení některých příkladů, konkrétně hledání pythagorejských trojic nad gaussovskými celými čísli a rovnici vedoucí na hyperboloid, kde využijeme naše zobecnění. 1
|
|
|
Subfields of number field extensions and quadratic forms
Doležálek, Matěj ; Kala, Vítězslav (vedoucí práce) ; Gil Muñoz, Daniel (oponent)
Jisté nedávné výsledky předkládají konstrukce totálně reálných číselných těles specific- kých stupňů, v nichž neexistují univerzální kvadratické formy malého počtu proměnných. S daným totálně reálným číselným tělesem L, u něhož je znám dolní odhad na počet pro- měnných univerzální kvadratické formy, se lze pokusit konstruovat rozšíření L, jež také splní tento odhad. V této práci představíme způsob, jak takové rozšíření konstruovat jako kompozitum L s dalším vhodně zvoleným číselným tělesem K. Tato konstrukce vyu- žívá nerovností stop a diskriminantů v číselných tělesech a omezení podtěles KL pomocí Galoisovy korespondence, což vede ke zkoumání podgrup direktních součinů grup. 1
|
host ::
