|
|
Krylov Subspace Methods - Analysis and Application
Gergelits, Tomáš ; Strakoš, Zdeněk (vedoucí práce) ; Farrell, Patrick (oponent) ; Herzog, Roland (oponent)
Název práce: Metody krylovovských podprostorů - Analýza a aplikace Autor: Tomáš Gergelits Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí disertační práce: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc., Katedra numerické matemati- ky Abstrakt: Konvergenční chování krylovovských metod pro řešení lineárních algebraických rovnic s pozitivně definitní symetrickou maticí je často spojováno s číslem podmíněnosti matice. Jak je však shrnuto v první části disertace, jejich skutečné konvergenční chování (které může být v praktických výpočtech významně ovlivněno zaokrouhlovacími chybami) je určeno celým spektrem matice a projekcemi počátečního rezidua do odpovídajících in- variantních podprostorů. Jádro práce spočívá ve vyšetřování spekter nekonečně dimen- zionálních operátorů −∇·(k(x)∇) a −∇·(K(x)∇), kde k(x) je skalární funkce a K(x) je symetrická tensorová funkce, předpodmíněných pomocí Laplaceova operátoru. Následně je pozornost zaměřena na vlastní čísla matic vzniklých diskretizací pomocí konformní metody konečných prvků. Za předpokladu spojitosti funkce K(x) je dokázáno, že spek- trum příslušné předpodmíněnému nekonečně dimenzionálnímu operátoru je ekvivalentní konvexní obálce oborů hodnot funkcí...
|
|
|
Krylov Subspace Methods - Analysis and Application
Gergelits, Tomáš ; Strakoš, Zdeněk (vedoucí práce) ; Farrell, Patrick (oponent) ; Herzog, Roland (oponent)
Název práce: Metody krylovovských podprostorů - Analýza a aplikace Autor: Tomáš Gergelits Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí disertační práce: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc., Katedra numerické matemati- ky Abstrakt: Konvergenční chování krylovovských metod pro řešení lineárních algebraických rovnic s pozitivně definitní symetrickou maticí je často spojováno s číslem podmíněnosti matice. Jak je však shrnuto v první části disertace, jejich skutečné konvergenční chování (které může být v praktických výpočtech významně ovlivněno zaokrouhlovacími chybami) je určeno celým spektrem matice a projekcemi počátečního rezidua do odpovídajících in- variantních podprostorů. Jádro práce spočívá ve vyšetřování spekter nekonečně dimen- zionálních operátorů −∇·(k(x)∇) a −∇·(K(x)∇), kde k(x) je skalární funkce a K(x) je symetrická tensorová funkce, předpodmíněných pomocí Laplaceova operátoru. Následně je pozornost zaměřena na vlastní čísla matic vzniklých diskretizací pomocí konformní metody konečných prvků. Za předpokladu spojitosti funkce K(x) je dokázáno, že spek- trum příslušné předpodmíněnému nekonečně dimenzionálnímu operátoru je ekvivalentní konvexní obálce oborů hodnot funkcí...
|
|
|
Laplacian preconditioning of elliptic PDEs: Localization of the eigenvalues of the discretized operator
Gergelits, Tomáš ; Mardal, K.-A. ; Nielsen, B. F. ; Strakoš, Z.
This contribution represents an extension of our earlier studies on the paradigmatic example of the inverse problem of the diffusion parameter estimation from spatio-temporal measurements of fluorescent particle concentration, see [6, 1, 3, 4, 5]. More precisely, we continue to look for an optimal bleaching pattern used in FRAP (Fluorescence Recovery After Photobleaching), being the initial condition of the Fickian diffusion equation maximizing a sensitivity measure. As follows, we define an optimization problem and we show the special feature (so-called complementarity principle) of the optimal binary-valued initial conditions.
|
|
|
Analysis of Krylov subspace methods
Gergelits, Tomáš ; Strakoš, Zdeněk (vedoucí práce) ; Hnětynková, Iveta (oponent)
Název práce: Analýza Krylovovských metod Autor: Tomáš Gergelits Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc. Abstrakt: Po odvození metody sdružených gradientů (CG) a krátkém přehledu souvislostí s dalšími oblastmi matematiky se práce zaměřuje na konvergenční chování v přesné aritmetice i v aritmetice s konečnou přesnotí. Podrobně je popsán principiální rozdíl mezi CG a Čebyševovou semi-iterační metodou a je diskutována praktická využitelnost široce rozšířeného lineárního odhadu založe- ného na vlastnostech Čebyševových polynomů. Na příkladu odhadů rychlosti konvergence založených na složených polynomech je ukázána nutnost zahrnutí vlivu zaokrouhlovacích chyb do jakýchkoli úvah o rychlosti konvergence metody CG, které mají být využitelné v praktických výpočtech. Blízkost navzájem si odpovídajících CG aproximací vzniklých ve výpočtech v aritmetice s konečnou přesností a v přesné aritmetice je studována porovnáním jejich trajektorií. Práce je zakončena diskuzí problémů spojených s citlivostí Gauss-Christoffelovy kvadra- tury, jež s metodou CG úzce souvisí. Na poslední dvě témata může být navázáno v další práci. Klíčová slova: Metoda...
|
|
|
Teorie a aplikace krylovovských metod v souvislostech
Gergelits, Tomáš ; Strakoš, Zdeněk (vedoucí práce) ; Hnětynková, Iveta (oponent)
Název práce: Teorie a aplikace Krylovovských metod v souvislostech Autor: Tomáš Gergelits Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí bakalářské práce: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc. Abstrakt: Po seznámení se s vlastnostmi Čebyševových polynomů a základním přehledem stacionárních iteračních metod je práce zaměřena na studium metody konjugovaných gradientů (CG), Krylovovské metody vhodné pro symetrické a pozitivně definitní matice. Je zdůrazněn principiální rozdíl mezi stacionárními a Krylovovskými metodami. Metoda konjugovaných gradientů je odvozena využi- tím minimalizace kvadratického funkcionálu a detailně je ukázána souvislost s dal- šími oblastmi matematiky (Lanczosova metoda, ortogonální polynomy, kvadra- turní vzorce, problém momentů). Je vyzdvihnut vliv konečné aritmetiky. Na teoretickou část navazují experimenty, které studují odhad odvozený v přesné aritmetice a který je často uváděný v literatuře. Je ukázáno, že tento odhad nutně selhává v praktických výpočtech. Na závěr práce jsou popsány dva otevřené problémy, jež mohou být předmětem dalšího studia. Klíčová slova: Metody Krylovovských podprostorů, konergenční vlastnosti, nu- merická stabilita, spektrální informace, odhady rychlosti...
|
host ::
RSS.