|
|
Classical operators of harmonic analysis and Sobolev embeddings on rearrangement-invariant function spaces
Mihula, Zdeněk ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Cianchi, Andrea (oponent) ; Persson, Lars-Erik (oponent)
Je zkoumána omezenost jistých klasických operátorů harmonické analýzy (jmenovitě Hilbertova a Rieszova transformace, Rieszovy potenciály a (frakční i nefrakční) maximální operátory) a platnost jistých sobolevových vnoření na celém prostoru. Kompaktnost ope- rátoru stop pro Sobolevovy prostory je také zkoumána. Důraz je kladen na optimalitu výsledků ve třídě prostorů funkcí s normou invariantní vůči nerostoucímu přerovnání. Zmíněné problémy jsou zredukovány na ekvivalentní problémy týkající se vhodných ope- rátorů Hardyho typu, které jsou definovány na funkcích jedné proměnné. Chování těchto operátorů Hardyho typu na prostorech funkcí s normou invariantní vůči nerostoucímu přerovnání je zkoumáno jako první. Výsledky týkající se operátorů Hardyho typu jsou poté použity jako stavební kameny, ze kterých spolu se známými výsledky z literatury jsou ostatní výsledky odvozeny. Pro ilustraci možného použití jsou obecné výsledky doprová- zeny konkrétními příklady. Výsledky prezentované v této disertační práci jsou založeny na výsledcích z některých článků, jichž je autor této práce autorem či spoluautorem. 1
|
|
|
Isoperimetric problem, Sobolev spaces and the Heisenberg group
Franců, Martin ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Cianchi, Andrea (oponent) ; Nekvinda, Aleš (oponent)
V této disertační práci studujeme vnoření prostorů funkcí definovaných na Carnotových-Carathéodoryových prostorech. Hlavními výsledky práce jsou pod- mínky pro sobolevovské vnoření vyššího řádu mezi prostory s normou invariantní vůči nerostoucímu přerovnání. Ve speciálním případě, kdy je v pozadí ležící prostor s mírou takzvanou X-PS doménou v Heisenbergově grupě, dostáváme úplnou charakterizaci Sobolevova vnoření. Další sada hlavních výsledků se týká kompaktnosti zmíněných vnoření (v těchto případech získáváme postačující podmínky). Z obecných výsledků vyvozujeme specifická vnoření pro důležité konkrétní případy prostorů funkcí. V závěrečné části práce uvádíme nový al- goritmus pro aproximaci nejmenší konkávní majoranty funkce definované na intervalu s odhadem chyby této aproximace. 1
|
|
|
Inequalities for discrete and continuous supremum operators
Oľhava, Rastislav ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Cianchi, Andrea (oponent) ; Nekvinda, Aleš (oponent)
Nerovnosti pro diskrétní a spojité supremální operátory Rastislav O©hava V této práci studujeme spojité a diskrétní supremální operátory. V první části vyšetřujeme obecné vlastnosti operátor· Hardyova typu obsahujících supre- mum. Omezenost supremálních operátor· je dále využita pro charakterizaci interpolačních prostor· mezi dvěma Marcinkiewiczovými prostory. Ve druhé části uvádíme ekvivalentní podmínky pro omezenost supremálních operátor·, kde vzorovým prostorem je jeden z klasických Lorentzových prostor· Λp w1 nebo Γp w1 a cílovým prostorem Λq w2 nebo Γq w2 . V případě p ≤ q postupujeme pomocí techniky vložení vhodného prostoru, čímž obdržíme spojité podmínky. V pří- padě p > q uvádíme pouze částečné výsledky v podobě diskrétních podmínek získaných použitím diskretizační metody. Ve třetí části se zabýváme váhovou nerovností pro iterovaný diskrét ní operátor Hardyova typu. Obdržíme jeho cha- rakterizaci, která nám umožňuje převést problémový případ, když je vzorovým prostorem vážené ℓp s p ∈ (0, 1), na případ p = 1. To nám umožní nalézt spoji- tou analogii zkoumané diskrétní nerovnosti. Práce se skládá z publikovaných i nepublikovaných autorových výsledk· spolu s materiálem, který se objevuje v literatuře.
|
|
|
Isoperimetric problem, Sobolev spaces and the Heisenberg group
Franců, Martin ; Pick, Luboš (vedoucí práce) ; Cianchi, Andrea (oponent) ; Nekvinda, Aleš (oponent)
V této disertační práci studujeme vnoření prostorů funkcí definovaných na Carnotových-Carathéodoryových prostorech. Hlavními výsledky práce jsou pod- mínky pro sobolevovské vnoření vyššího řádu mezi prostory s normou invariantní vůči nerostoucímu přerovnání. Ve speciálním případě, kdy je v pozadí ležící prostor s mírou takzvanou X-PS doménou v Heisenbergově grupě, dostáváme úplnou charakterizaci Sobolevova vnoření. Další sada hlavních výsledků se týká kompaktnosti zmíněných vnoření (v těchto případech získáváme postačující podmínky). Z obecných výsledků vyvozujeme specifická vnoření pro důležité konkrétní případy prostorů funkcí. V závěrečné části práce uvádíme nový al- goritmus pro aproximaci nejmenší konkávní majoranty funkce definované na intervalu s odhadem chyby této aproximace. 1
|
host ::
RSS.